Dossier complet — Algèbre 1

L1 · S1 · Mathématiques fondamentales

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Verbaliser et formaliser des propriétés d’ensembles avec appartenance, inclusion et opérations.

• Analyser une application en distinguant domaine, codomaine, image, injectivité, surjectivité et bijectivité.

• Prouver qu’une relation est une équivalence et décrire précisément ses classes et sa partition.

• Choisir une méthode de preuve adaptée: implication directe, contraposée, double inclusion ou contre-exemple.

• Composer des applications et modéliser un problème algébrique en contrôlant les domaines, les résultats et les limites.

Prérequis

• Manipuler les nombres entiers, rationnels et réels ainsi que les égalités élémentaires.

• Lire des expressions avec quantificateurs usuels et effectuer des transformations algébriques simples.

• Rédiger une justification en français en distinguant hypothèse, raisonnement et conclusion.

Cours

1. Ensembles et opérations

Définitions et méthode

Un ensemble regroupe des objets bien déterminés; on note $x\in A$ l’appartenance et $A\subseteq B$ l’inclusion. L’union contient les éléments de l’un ou l’autre ensemble, l’intersection ceux communs, et le complément se définit relativement à un univers $U$. Les identités de distributivité et de De Morgan transforment une expression avant une preuve.

Exemple guidé

Soit $U=\{1,2,3,4,5,6\}$, $A=\{1,2,4\}$ et $B=\{2,3,4,6\}$. Alors $A\cap B=\{2,4\}$ et $A\cup B=\{1,2,3,4,6\}$. Le complément de $A$ vaut $A^c=\{3,5,6\}$. Donc $(A\cup B)^c=\{5\}$, qui coïncide avec $A^c\cap B^c$.

Vigilance et contrôle

Ne pas confondre élément et sous-ensemble: $1\in A$ mais $\{1\}\subseteq A$. Pour prouver deux ensembles égaux, montrer les deux inclusions. Point de contrôle : simplifier $(A\cap B)\cup(A\cap B^c)$ et justifier le résultat par appartenance.

Points-clés

• Distinguer appartenance et inclusion.
• Manipuler union, intersection et complément relativement à un univers.
• Prouver une égalité d’ensembles par double inclusion ou équivalences.

2. Applications et bijections

Définition et propriétés

Une application $f:A\to B$ associe une unique image $f(x)$ à chaque $x\in A$; plusieurs antécédents peuvent partager une image, mais une valeur du domaine ne peut en avoir deux. Elle est injective si $f(x)=f(y)$ entraîne $x=y$, surjective si tout $b\in B$ est atteint, et bijective si elle est les deux. L’image directe et l’image réciproque se calculent en revenant aux définitions.

Exemple guidé

Pour $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=2x-3$, supposons $f(x)=f(y)$. Alors $2x-3=2y-3$, donc $x=y$: $f$ est injective. Pour $b\in\mathbb R$, choisir $x=(b+3)/2$ donne $f(x)=b$: elle est surjective, donc bijective. Son inverse est $f^{-1}(b)=(b+3)/2$.

Limites et contrôle

Le codomaine compte: $x\mapsto x^2$ n’est pas surjective vers $\mathbb R$, mais l’est vers $[0,+\infty[$. Point de contrôle : décider si $g:[0,+\infty[\to\mathbb R$, $g(x)=x^2$, est injective et surjective, en produisant un contre-exemple ou un antécédent.

Points-clés

• Vérifier séparément injectivité et surjectivité.
• Utiliser l’équation des images pour construire un inverse.
• Toujours préciser domaine et codomaine.

3. Relations d’équivalence

Définitions

Une relation $R$ sur $E$ est réflexive si $xRx$ pour tout $x$, symétrique si $xRy$ implique $yRx$, et transitive si $xRy$ et $yRz$ impliquent $xRz$. Une relation d’équivalence possède ces trois propriétés. La classe de $x$ est $[x]=\{y\in E:yRx\}$; les classes sont soit disjointes, soit égales, et forment une partition de $E$.

Exemple guidé

Sur $\mathbb Z$, définir $x\sim y$ si $x-y$ est divisible par $3$. La réflexivité vient de $x-x=0$; la symétrie vient de l’opposé d’un multiple de $3$; la transitivité vient de la somme de deux multiples de $3$. Les classes sont $[0]=3\mathbb Z$, $[1]=1+3\mathbb Z$ et $[2]=2+3\mathbb Z$. Comme $7-1=6$, $7\sim1$.

Erreurs et contrôle

La relation « avoir la même valeur absolue » est bien réflexive, symétrique et transitive sur $\mathbb Z$: si $|x|=|y|$ et $|y|=|z|$, alors $|x|=|z|$. Il faut tester les axiomes précisément, sans intuition. Point de contrôle : déterminer la classe de $-4$ pour la congruence modulo $3$.

Points-clés

• Tester séparément les trois axiomes.
• Calculer une classe par la définition de la relation.
• Relier équivalence et partition de l’ensemble.

4. Logique et preuves algébriques

Méthodes de raisonnement

Une implication $P\Rightarrow Q$ se démontre en supposant $P$ et en déduisant $Q$. Sa contraposée $\neg Q\Rightarrow\neg P$ est équivalente, tandis que la réciproque $Q\Rightarrow P$ ne l’est pas forcément. Pour réfuter une affirmation universelle, un seul contre-exemple suffit; pour établir une égalité, on peut transformer les deux membres par équivalences explicites.

Exemple guidé

Montrons: si $n^2$ est pair, alors $n$ est pair. Par contraposée, supposons $n$ impair, donc $n=2k+1$. Alors $n^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$, impair. La contraposée est vraie, donc l’énoncé initial est vrai.

Limites et contrôle

« Tester plusieurs valeurs » ne remplace pas une preuve; inversement, une réciproque doit être démontrée séparément. Écrire les quantificateurs évite de permuter abusivement « pour tout » et « il existe ». Point de contrôle : démontrer que $n^2$ impair implique $n$ impair en utilisant la contraposée de « $n$ pair implique $n^2$ pair ».

Points-clés

• Distinguer implication, contraposée et réciproque.
• Choisir contre-exemple ou preuve selon le quantificateur.
• Dérouler les calculs sans masquer les hypothèses.

5. Compositions et modélisation

Organiser une résolution

Les propriétés des ensembles, applications et relations se combinent. La composée $g\circ f$ n’est définie que si les codomaine et domaine s’accordent. Une bijection transporte une relation: elle remplace des objets par leurs représentants tout en conservant la structure. Pour résoudre, préciser les ensembles, traduire les mots en symboles et contrôler les limites.

Exemple guidé

Soient $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$, $f(n)=n+1$, et $g:\mathbb Z\to2\mathbb Z$, $g(n)=2n$. Alors $(g\circ f)(n)=2(n+1)=2n+2$, tandis que $(f\circ g)(n)=2n+1$: la composition n’est pas commutative. Les deux fonctions sont bijectives, avec $f^{-1}(n)=n-1$ et $g^{-1}(n)=n/2$ seulement si le codomaine de $g$ est choisi comme $2\mathbb Z$.

Vigilance et contrôle

Un inverse dépend du codomaine; écrire $n/2$ sans vérifier que $n\in2\mathbb Z$ serait incorrect. Point de contrôle : calculer $f^{-1}\circ f$ et préciser son domaine, puis expliquer pourquoi la composition inverse dans l’autre sens exige la surjectivité.

Points-clés

• Vérifier la compatibilité des domaines dans une composition.
• Ne pas supposer la commutativité des compositions.
• Adapter codomaine et inverse aux propriétés réellement prouvées.

6. Divisibilité dans les entiers : pgcd, Bézout et congruences

Cours magistral

Divisibilité et outils fondamentaux

Pour $a,b\in\mathbb Z$, avec $a\ne0$, on écrit $a\mid b$ lorsqu’il existe $k\in\mathbb Z$ tel que $b=ak$. Cette définition impose un quotient entier; elle ne concerne donc pas seulement une division calculable sur les réels. Le plus grand commun diviseur $\operatorname{pgcd}(a,b)$ est le plus grand entier positif qui divise simultanément $a$ et $b$, en prenant $|a|$ et $|b|$ si nécessaire. L’algorithme d’Euclide repose sur $\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r)$ lorsque $a=bq+r$, avec $0\le r<b$ pour $a,b>0$.

Le théorème de Bézout affirme que $d=\operatorname{pgcd}(a,b)$ si et seulement s’il existe $u,v\in\mathbb Z$ tels que $au+bv=d$. Cette identité sert notamment à inverser $a$ modulo $n$: un inverse existe exactement quand $\operatorname{pgcd}(a,n)=1$. Une congruence $ax\equiv c\pmod n$ signifie $n\mid(ax-c)$; on peut multiplier par un inverse seulement sous cette condition de coprimalité. Plus généralement, si $d=\operatorname{pgcd}(a,n)$, la congruence possède une solution exactement lorsque $d\mid c$. Après division par $d$, les solutions sont déterminées modulo $n/d$, ce qui évite de compter plusieurs fois la même classe.

Justification et méthode

Dans l’algorithme, chaque reste est strictement plus petit que le précédent: la suite d’entiers positifs finit donc par atteindre zéro. Le dernier reste non nul divise tous les précédents en remontant les égalités, et tout diviseur commun des deux premiers divise aussi tous les restes. Il est donc bien le pgcd. Pour obtenir Bézout, on remplace ensuite chaque reste par son expression précédente, en conservant les coefficients.

Cette méthode est aussi une preuve de stabilité arithmétique: aucune approximation n’intervient et les égalités restent exactes. Pour vérifier une identité de Bézout, on remplace toujours les coefficients trouvés dans $au+bv$; une erreur de signe apparaît immédiatement. Enfin, une congruence ne demande pas de choisir un représentant particulier: les entiers qui diffèrent d’un multiple du module sont équivalents et doivent être regroupés dans une même classe.

Exemple résolu

Résolvons $26x\equiv8\pmod{14}$. D’abord, $\operatorname{pgcd}(26,14)=2$, calculé par $26=1\cdot14+12$, $14=1\cdot12+2$. Comme $2\mid8$, des solutions existent. En divisant par $2$, on obtient $13x\equiv4\pmod7$. Or $13\equiv-1\pmod7$, donc $-x\equiv4$, puis $x\equiv-4\equiv3\pmod7$. Les solutions entières sont donc $x=3+7k$, $k\in\mathbb Z$. Vérification: $26(3+7k)-8=70+182k=14(5+13k)$.

Erreurs fréquentes

Confondre $a\mid b$ avec $b\mid a$; oublier de vérifier que le second membre est divisible par le pgcd; annuler un coefficient modulo $n$ sans réduire le problème ni vérifier la coprimalité; donner une seule solution au lieu de la classe modulo $n/\operatorname{pgcd}(a,n)$.

À retenir

La divisibilité fournit un cadre entier, l’algorithme d’Euclide calcule efficacement le pgcd, et Bézout donne à la fois une preuve et des inverses modulaires. Toute congruence linéaire se traite d’abord par le pgcd, avant toute simplification.

Points-clés

• Appliquer la division euclidienne et l’algorithme d’Euclide.
• Relier pgcd et identité de Bézout.
• Tester l’existence et décrire toutes les solutions d’une congruence linéaire.
• Respecter les conditions d’annulation et d’inversion modulo un entier.

7. Polynômes : division, racines et factorisation

Cours magistral

Anneau des polynômes et division

Un polynôme de $K[X]$, où $K$ est un corps comme $\mathbb Q$ ou $\mathbb R$, s’écrit $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$ avec $a_n\ne0$; son degré est $n$. Le produit des degrés s’additionne et le degré d’une somme est au plus le maximum, avec égalité si les termes dominants ne s’annulent pas. La division euclidienne affirme que, pour $A,B\in K[X]$ et $B\ne0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $A=BQ+R$ et $\deg R<\deg B$.

Si $a\in K$, le théorème du reste donne $P(X)=(X-a)Q(X)+P(a)$. Ainsi $a$ est une racine de $P$ si et seulement si $(X-a)$ divise $P$. Cette équivalence autorise une factorisation progressive, mais seulement sur le corps choisi: un polynôme peut être irréductible sur $\mathbb Q$ et se factoriser sur $\mathbb C$. Pour un trinôme réel de degré deux, le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ indique les racines réelles, à condition que $a\ne0$.

Développement raisonné

La division se construit en supprimant successivement le terme dominant du dividende: on choisit le quotient du coefficient dominant par celui du diviseur, puis on soustrait. Le degré baisse à chaque étape, ce qui garantit l’arrêt. Si $P(a)=0$, le reste de la division par $X-a$ est nul, donc la factorisation est exacte. Une racine de multiplicité deux correspond à $(X-a)^2$ comme facteur; il faut alors vérifier la divisibilité une seconde fois.

L’unicité du couple $(Q,R)$ se justifie ainsi: si deux divisions existaient, la différence donnerait $B(Q-Q')=R'-R$. Le membre de gauche serait nul ou de degré au moins celui de $B$, tandis que le membre de droite aurait un degré strictement inférieur à celui de $B$; les deux différences sont donc nulles. La multiplicité d’une racine renseigne aussi sur le signe local et sur les changements de facteur, mais elle ne se déduit pas seulement d’un premier test numérique. Dans tout calcul, développer la factorisation finale est un contrôle indépendant qui vérifie à la fois les coefficients et le degré.

Exemple résolu

Factorisons $P(X)=X^3-2X^2-X+2$ dans $\mathbb Q[X]$. On teste les diviseurs du terme constant: $P(1)=1-2-1+2=0$, donc $X-1$ est facteur. La division donne $P(X)=(X-1)(X^2-X-2)$. On factorise le second terme: $X^2-X-2=(X-2)(X+1)$, car le produit des constantes vaut $-2$ et leur somme $-1$. Finalement $P(X)=(X-1)(X-2)(X+1)$. Les racines sont $1$, $2$ et $-1$, chacune simple.

Erreurs fréquentes

Confondre le degré avec le nombre de termes; appliquer le théorème du reste à un diviseur qui n’est pas $X-a$ sans effectuer une division; factoriser sur $\mathbb R$ une expression dont les racines ne sont pas réelles; oublier de développer pour contrôler les signes.

À retenir

La division euclidienne sépare quotient et reste, le calcul $P(a)$ détecte exactement les facteurs linéaires, et une factorisation doit toujours préciser le corps et être vérifiée par développement.

Points-clés

• Énoncer les conditions de la division euclidienne dans $K[X]$.
• Utiliser le théorème du reste pour reconnaître une racine.
• Factoriser progressivement et contrôler les multiplicités.
• Distinguer les factorisations possibles sur $\mathbb Q$, $\mathbb R$ et $\mathbb C$.

8. Systèmes linéaires et matrices : méthode de Gauss

Cours magistral

Modèle matriciel et opérations autorisées

Un système linéaire en $n$ inconnues s’écrit $AX=b$, où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ le vecteur inconnu et $b$ le second membre. Une ligne représente une équation; les opérations suivantes préservent exactement l’ensemble des solutions: permuter deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Elles correspondent à des transformations réversibles des équations.

L’élimination de Gauss cherche une forme échelonnée: les pivots avancent vers la droite et les coefficients sous chaque pivot sont nuls. Une ligne $[0\ \cdots\ 0\mid c]$ avec $c\ne0$ signale une contradiction et donc l’absence de solution. Si aucune contradiction n’apparaît, les variables sans pivot sont libres. Le nombre de paramètres décrit alors une infinité de solutions; un pivot dans chaque colonne d’inconnue donne une solution unique, lorsque le système est compatible.

Développement raisonné

À chaque colonne, choisir un pivot non nul, l’échanger au besoin, puis annuler les coefficients en dessous. La remontée exprime les variables pivot en fonction des variables libres. Cette procédure est correcte parce que chaque transformation est une équivalence logique. En pratique, éviter un pivot numérique très petit améliore la stabilité; en calcul exact, on préfère conserver des fractions plutôt que des arrondis prématurés.

Le nombre de pivots est le rang de la matrice des coefficients. Le système est compatible lorsque le rang de cette matrice coïncide avec celui de la matrice augmentée; sinon, une ligne contradictoire apparaît. Si ce rang vaut le nombre d’inconnues, la solution est unique. Sinon, le nombre de variables libres est la différence entre le nombre d’inconnues et le rang. Ce critère formalise ce que montre la réduction et permet d’annoncer le type de solution avant la remontée complète.

Exemple résolu

Résolvons $\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=3.\end{cases}$ La matrice augmentée est $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&3\end{array}\right]$. On fait $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$, obtenant $[1,1,1|6]$, $[0,-3,-1|-9]$, $[0,1,-2|-3]$. Échangeons les deux dernières lignes puis $L_3\leftarrow L_3+3L_2$: on obtient $[0,1,-2|-3]$ et $[0,0,-7|-18]$. Donc $z=18/7$, puis $y-2z=-3$, soit $y=15/7$, et enfin $x=6-y-z=9/7$. La solution unique est $(9/7,15/7,18/7)$; substitution dans les trois équations confirme le résultat.

Exemple d’application : doser un mélange

Un laboratoire combine deux solutions. Chaque litre de la solution A apporte 2 unités de soluté X et 1 unité de Y; chaque litre de B apporte 1 unité de X et 3 de Y. Pour obtenir 11 unités de X et 13 de Y, notons $x$ et $y$ les volumes. Le bilan donne $2x+y=11$ et $x+3y=13$. De la première équation, $y=11-2x$; en remplaçant dans la seconde, $x+3(11-2x)=13$, donc $-5x=-20$ et $x=4$. Alors $y=3$. On contrôle les deux bilans : $2(4)+3=11$ et $4+3(3)=13$. Le mélange contient donc 4 litres de A et 3 litres de B. Dans la matrice augmentée, chaque opération de Gauss transforme les équations sans changer la paire de volumes admissible.

Erreurs fréquentes

Modifier le second membre lors d’une opération de ligne de façon incohérente; diviser par un pivot nul; conclure « aucune solution » à partir d’une ligne nulle; oublier les variables libres; vérifier seulement une équation au lieu du système entier.

À retenir

La matrice augmentée condense le système, Gauss conserve ses solutions et la forme échelonnée révèle immédiatement contradiction, paramètres ou unicité.

Points-clés

• Traduire un système en matrice augmentée.
• Justifier les trois opérations élémentaires sur les lignes.
• Lire incompatibilité, variables libres et unicité dans une forme échelonnée.
• Effectuer une remontée puis vérifier le vecteur obtenu.

9. Espaces vectoriels, bases et dimension

Cours magistral

Espaces, sous-espaces et familles

Un espace vectoriel $E$ sur un corps $K$ est muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire satisfaisant les règles usuelles de distributivité, d’associativité et d’existence de l’opposé. Les vecteurs peuvent être des listes, des polynômes ou des fonctions; ce qui compte est la même structure de calcul. Un sous-ensemble $F\subseteq E$ est un sous-espace si $0\in F$ et si, pour tous $u,v\in F$ et $\lambda,\mu\in K$, le vecteur $\lambda u+\mu v$ appartient encore à $F$. Cette formulation condense fermeture par addition et par multiplication scalaire.

Une famille $(v_1,\ldots,v_p)$ engendre $E$ si chaque vecteur de $E$ est une combinaison linéaire $\sum_i\lambda_i v_i$. Elle est libre si cette combinaison vaut zéro seulement lorsque tous les coefficients sont nuls. Une base est à la fois libre et génératrice. Dans un espace de dimension finie, toutes les bases ont le même nombre d’éléments, appelé dimension. Une famille libre peut être complétée en base; une famille génératrice peut être réduite en supprimant les vecteurs redondants.

Développement raisonné

Pour tester une famille de vecteurs colonnes, résoudre $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p=0$. Une solution non triviale prouve la dépendance; seule la solution nulle prouve la liberté. Pour l’engendrement, résoudre le même type d’équation pour un vecteur arbitraire $w$. Dans $K^n$, la réduction de Gauss permet de faire ces deux tests simultanément. Une famille de $n$ vecteurs libres de $K^n$ est automatiquement une base, car le système homogène a une solution unique et la matrice carrée est inversible.

Une fois une base choisie, les coefficients d’un vecteur sont ses coordonnées et sont uniques: deux écritures donneraient, par soustraction, une relation linéaire non triviale entre les vecteurs de base. Changer de base ne change donc pas le vecteur, mais modifie sa liste de coordonnées. Cette distinction évite de confondre un objet avec sa représentation. La dimension permet enfin de comparer les sous-espaces: dans un espace de dimension finie, une famille libre de même cardinal qu’une base est génératrice, et une famille génératrice de ce cardinal est libre.

Exemple résolu

Dans $\mathbb R^3$, considérons $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$ et $v_3=(2,1,1)$. On remarque directement $v_3=v_1+v_2$: la famille est donc liée. Le sous-espace $F=\operatorname{Vect}(v_1,v_2,v_3)$ est engendré par $v_1,v_2$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, car leurs deuxièmes et troisièmes coordonnées diffèrent; si $av_1+bv_2=0$, la deuxième coordonnée donne $a=0$ et la troisième donne $b=0$. Ils forment donc une base de $F$, et $\dim F=2$. Par exemple, $(3,2,1)=2v_1+v_2$ appartient à $F$; ses coefficients fournissent une écriture dans cette base.

Erreurs fréquentes

Confondre une famille libre avec une famille seulement non nulle; croire que trois vecteurs de $\mathbb R^3$ forment toujours une base; oublier de vérifier le vecteur nul pour un sous-espace; donner une combinaison sans prouver qu’elle est unique lorsque l’on parle de coordonnées.

À retenir

La liberté mesure l’absence de redondance, l’engendrement mesure la couverture de l’espace, et une base réalise les deux. La dimension compte les directions indépendantes et permet d’organiser les calculs matriciels.

Points-clés

• Vérifier la définition d’un sous-espace par fermeture linéaire.
• Distinguer famille libre, génératrice et base.
• Utiliser un système homogène pour détecter une dépendance.
• Déduire la dimension d’une base et l’unicité des coordonnées.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Dans l’univers $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, on donne $A=\{1,2,4,7\}$ et $B=\{2,3,4,6\}$. Calculer $A\cup B$, $A\cap B$, $A^c$ et $(A\cup B)^c$. Vérifier l’identité de De Morgan $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$.

Correction détaillée

On réunit les éléments distincts: $A\cup B=\{1,2,3,4,6,7\}$. Les éléments communs sont $A\cap B=\{2,4\}$. Dans $U$, le complément est $A^c=\{3,5,6,8\}$. Le complément de l’union est donc $(A\cup B)^c=\{5,8\}$. Enfin $B^c=\{1,5,7,8\}$, et $A^c\cap B^c=\{5,8\}$. Les deux ensembles sont égaux.

Exercice 2 · Fondamental

Soit $f:\mathbb R o\mathbb R$ définie par $f(x)=3x-5$. Démontrer qu’elle est bijective et déterminer $f^{-1}$.

Correction détaillée

Pour l’injectivité, supposons $f(x)=f(y)$. Alors $3x-5=3y-5$, donc $3x=3y$, puis $x=y$. Pour la surjectivité, soit $t\in\mathbb R$. Posons $x=(t+5)/3$; alors $f(x)=3(t+5)/3-5=t$. Les deux propriétés donnent la bijectivité. En résolvant $t=3x-5$ par rapport à $x$, on obtient $x=(t+5)/3$, donc $f^{-1}(t)=(t+5)/3$.

Exercice 3 · Intermédiaire

Sur $\mathbb Z$, on définit $x\mathrel R y$ si $x-y$ est divisible par $4$. Prouver que $R$ est une relation d’équivalence, puis déterminer la classe de $-3$ et dire si $17R5$.

Correction détaillée

Réflexivité: $x-x=0$ est divisible par $4$. Symétrie: si $x-y=4k$, alors $y-x=-4k$, encore divisible par $4$. Transitivité: si $x-y=4k$ et $y-z=4\ell$, alors $x-z=4(k+\ell)$. Donc $R$ est une équivalence. Comme $-3\equiv1\pmod4$, sa classe est $[-3]=1+4\mathbb Z$. Enfin $17-5=12=4 imes3$, donc $17R5$.

Exercice 4 · Intermédiaire

Soit $h:\mathbb R o[0,+\infty[$ définie par $h(x)=x^2$. Étudier son injectivité et sa surjectivité. Proposer une restriction de domaine qui la rende bijective et donner l’inverse correspondant.

Correction détaillée

Elle n’est pas injective car $h(1)=h(-1)=1$ avec $1 e-1$. Elle est surjective sur $[0,+\infty[$: pour tout $y\ge0$, $x=\sqrt y$ vérifie $h(x)=y$. En restreignant le domaine à $[0,+\infty[$, elle devient injective car $x^2=y^2$ et $x,y\ge0$ donnent $x=y$. Elle est donc bijective de $[0,+\infty[$ vers lui-même, avec inverse $h^{-1}(y)=\sqrt y$.

Exercice 5 · Avancé

Soit $E$ un ensemble et $f:E o E$. On définit $x\sim y$ si et seulement si $f(x)=f(y)$. Prouver que $\sim$ est une relation d’équivalence, identifier ses classes, puis montrer que $f$ est injective si et seulement si toutes les classes sont des singletons.

Correction détaillée

Réflexivité: $f(x)=f(x)$. Symétrie: $f(x)=f(y)$ entraîne $f(y)=f(x)$. Transitivité: $f(x)=f(y)$ et $f(y)=f(z)$ donnent $f(x)=f(z)$. Les classes sont $[x]=\{y\in E:f(y)=f(x)\}=f^{-1}(\{f(x)\})$, c’est-à-dire les fibres de $f$. Si $f$ est injective, $f(y)=f(x)$ impose $y=x$, donc chaque classe vaut $\{x\}$. Réciproquement, si chaque classe est un singleton et si $f(x)=f(y)$, alors $y\in[x]$; donc $y=x$. Ainsi $f$ est injective.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle condition caractérise $x\in A\cap B$ ?

• $x\in A$ ou $x\in B$ ✓ $x\in A$ et $x\in B$ • $x otin A$ et $x otin B$ • $x\in A\cup B$ seulement

Explication : L’intersection contient exactement les éléments appartenant simultanément aux deux ensembles.

Question 2

Une application injective vérifie quelle implication ?

✓ $f(x)=f(y)\Rightarrow x=y$ • $x=y\Rightarrow f(x) e f(y)$ • $f(x)=f(y)$ pour tous $x,y$ • $x=y\Rightarrow f(x)=f(y)$ uniquement

Explication : L’injectivité interdit deux antécédents distincts pour une même image; l’égalité des images force donc celle des antécédents.

Question 3

Pour être surjective vers $B$, une application $f:A o B$ doit :

• être définie seulement sur un singleton ✓ atteindre chaque élément de $B$ • avoir deux images par antécédent • être nécessairement constante

Explication : La surjectivité signifie que pour tout $b\in B$, il existe au moins un $a\in A$ tel que $f(a)=b$.

Question 4

Quelle propriété manque à une relation d’équivalence si elle est seulement réflexive et symétrique ?

• La commutativité ✓ La transitivité • La distributivité • La bijectivité

Explication : Une équivalence doit être réflexive, symétrique et transitive; la transitivité est le troisième axiome.

Question 5

Dans la congruence modulo $3$, quelle est la classe de $4$ ?

• $0+3\mathbb Z$ ✓ $1+3\mathbb Z$ • $2+3\mathbb Z$ • $4+3\mathbb Z$ seulement

Explication : Comme $4\equiv1\pmod3$, la classe de $4$ est $1+3\mathbb Z$.

Question 6

Quel énoncé est logiquement équivalent à $P\Rightarrow Q$ ?

• $Q\Rightarrow P$ • $eg P\Rightarrow eg Q$ ✓ $eg Q\Rightarrow eg P$ • $P\land Q$

Explication : La contraposée $eg Q\Rightarrow eg P$ a toujours la même valeur de vérité que l’implication initiale.

Question 7

Pour $f(x)=x^2$ de $[0,+\infty[$ vers $[0,+\infty[$, quelle affirmation est vraie ?

✓ Elle est bijective • Elle n’est pas définie en $0$ • Elle est surjective mais non injective • Elle est injective mais non surjective

Explication : Sur les réels positifs ou nuls, le carré est strictement croissant, et chaque $y\ge0$ possède l’antécédent $\sqrt y$.

Question 8

La composition $g\circ f$ signifie :

✓ $f$ puis $g$ • $g$ puis $f$ toujours • $f+g$ • $f^{-1}$ puis $g^{-1}$

Explication : On applique d’abord $f$, puis $g$: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$, sous réserve de compatibilité des ensembles.

Glossaire

• Ensemble — Collection d’objets déterminés, décrite par une propriété ou une liste, sans ordre ni répétition.
• Inclusion — Relation $A\subseteq B$ signifiant que tout élément de $A$ appartient aussi à $B$.
• Image directe — Pour $X\subseteq A$, ensemble $f(X)=\{f(x):x\in X\}$ des valeurs produites par les éléments de $X$.
• Injectivité — Propriété d’une application selon laquelle deux antécédents ayant la même image sont nécessairement égaux.
• Surjectivité — Propriété d’une application dont chaque élément du codomaine possède au moins un antécédent.
• Bijection — Application à la fois injective et surjective; elle admet une application réciproque.
• Relation d’équivalence — Relation réflexive, symétrique et transitive, qui découpe l’ensemble en classes disjointes.
• Classe d’équivalence — Ensemble des éléments équivalents à un élément donné, noté $[x]$.

TP · Cartographier des identifiants par une relation d’équivalence

Une bibliothèque pédagogique reçoit des identifiants entiers et veut regrouper ceux qui ont le même reste modulo 4. L’équipe doit produire une représentation vérifiable des groupes, puis tester une fonction qui associe à chaque entier sa classe représentative dans {0,1,2,3}. Le cas se réalise avec papier-crayon ou un court script, sans supposer qu’un regroupement est une partition avant de vérifier les axiomes.

Objectifs

• Formaliser une relation sur un ensemble d’entiers.

• Prouver réflexivité, symétrie et transitivité.

• Construire les classes modulo 4 et vérifier leur disjonction.

• Tester une application de représentant et documenter son codomaine.

Étapes

1. Choisir les entiers de -8 à 11 et écrire la relation xRy si 4 divise x-y.

2. Vérifier les trois propriétés sur la définition, puis fournir un exemple et un non-exemple pour chacune.

3. Construire les quatre classes en regroupant les entiers par reste et repérer la classe de -3.

4. Écrire un pseudo-code ou une fonction qui renvoie le reste dans {0,1,2,3}; tester -3, 0, 7 et 10.

5. Comparer les résultats, corriger les erreurs de signe et rédiger une conclusion sur la partition.

Livrables attendus

• Une preuve courte des trois axiomes.

• Un tableau des quatre classes sur la fenêtre d’entiers choisie, avec tests annotés.

• Un pseudo-code ou script commenté et une conclusion de 150 mots.

Critères d’évaluation

• Axiomes justes et séparés: 30 %.

• Classes et calculs de restes exacts: 25 %.

• Tests couvrant positifs, négatifs et zéro: 25 %.

• Clarté, codomaine et justification des limites: 20 %.

Piste de résolution

La relation est une équivalence car les multiples de 4 sont stables par zéro, opposé et somme. Les classes sont 4Z, 1+4Z, 2+4Z et 3+4Z; -3 appartient à 1+4Z. Le représentant canonique peut être calculé par ((n % 4)+4) % 4 dans de nombreux langages afin d’éviter un reste négatif. Le codomaine est {0,1,2,3}, et chaque entier est envoyé dans une seule classe.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — Algèbre 1

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Sujet entièrement original, proposé pour l’entraînement; il ne constitue ni un cours officiel ni une véritable annale et ne reproduit pas une épreuve d’années passées. Justifier chaque réponse et préciser les ensembles.

Exercice 1

Soient $A,B,C$ des ensembles. Démontrer $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$ par appartenance.

Correction : Soit $x$. On a $x\in A\cap(B\cup C)$ si et seulement si $x\in A$ et ($x\in B$ ou $x\in C$). Par distributivité logique, cela équivaut à ($x\in A$ et $x\in B$) ou ($x\in A$ et $x\in C$), puis à $x\in(A\cap B)\cup(A\cap C)$. Les appartenances sont équivalentes pour tout $x$, donc les ensembles sont égaux.

Exercice 2

Étudier $f:[0,+\infty[\to[1,+\infty[$, $f(x)=x^2+1$: injectivité, surjectivité et inverse.

Correction : Si $f(x)=f(y)$, alors $x^2=y^2$; comme $x,y\ge0$, on obtient $x=y$, donc injectivité. Pour $t\ge1$, $x=\sqrt{t-1}$ est positif ou nul et $f(x)=t$, donc surjectivité. L’application est bijective et $f^{-1}(t)=\sqrt{t-1}$ pour $t\ge1$.

Exercice 3

Sur $\mathbb Z$, poser $x\sim y$ si $x+y$ est pair. Prouver qu’il s’agit d’une équivalence et décrire les classes.

Correction : Réflexivité: $2x$ est pair. Symétrie: $x+y=y+x$. Transitivité: si $x+y$ et $y+z$ sont pairs, leur somme $x+2y+z$ est paire; comme $2y$ est pair, $x+z$ est pair. Les classes sont les entiers pairs $2\mathbb Z$ et les entiers impairs $1+2\mathbb Z$.

Sujet original de préparation — Algèbre 1, seconde série

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Sujet entièrement original de révision; il ne constitue ni un cours officiel ni une véritable annale et ne correspond à aucune épreuve d’années passées. Les raisonnements doivent être détaillés.

Exercice 1

Soit $p:\mathbb R\to\mathbb R$, $p(x)=x^3$. Montrer que $p$ est bijective et calculer sa réciproque.

Correction : Si $x^3=y^3$, la fonction cube est strictement croissante sur $\mathbb R$, donc $x=y$: injectivité. Pour tout $t\in\mathbb R$, $x=\sqrt[3]{t}$ vérifie $p(x)=t$: surjectivité. Ainsi $p$ est bijective et $p^{-1}(t)=\sqrt[3]{t}$.

Exercice 2

Pour $E=\{1,2,3,4,5,6\}$, donner les classes de la relation $x\sim y$ si $x$ et $y$ ont la même parité, puis écrire la partition associée.

Correction : Les nombres 1,3,5 ont la même parité et forment la classe $\{1,3,5\}$. Les nombres 2,4,6 forment $\{2,4,6\}$. La relation est réflexive, symétrique et transitive car l’égalité de la parité l’est. La partition est donc $\{\{1,3,5\},\{2,4,6\}\}$.

Exercice 3

Soient $f:A\to B$ et $g:B\to C$ bijectives. Prouver que $g\circ f$ est bijective et exprimer son inverse.

Correction : Injectivité: si $g(f(x))=g(f(y))$, l’injectivité de $g$ donne $f(x)=f(y)$, puis celle de $f$ donne $x=y$. Surjectivité: pour $c\in C$, choisir $b=g^{-1}(c)$ puis $a=f^{-1}(b)$; alors $(g\circ f)(a)=c$. Donc la composée est bijective. En composant, $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$, car on applique d’abord $g^{-1}$ puis $f^{-1}$.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Ensembles, inclusion et opérations

Refaire les preuves par appartenance, puis résoudre ex1 sans regarder la solution; vérifier De Morgan sur deux univers finis. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Applications, images et bijections

Construire des tableaux d’antécédents pour quatre fonctions et rédiger les preuves d’injectivité et de surjectivité; refaire ex2 et ex4. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Relations d’équivalence et logique

Tester les trois axiomes sur trois relations, calculer des classes modulo 2, 3 et 4, puis travailler ex3 et le quiz. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Synthèse, compositions et entraînement

Réaliser le TP, traiter un sujet original en temps limité, corriger avec les solutions et reprendre les erreurs de quantificateurs. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.