Dossier complet — Analyse 2

L1 · S2 · Mathématiques fondamentales

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Calculer des dérivées, dresser un tableau de variations et interpréter le signe d’une dérivée.

• Construire et utiliser un développement limité pour obtenir une approximation locale avec un ordre et un reste explicités.

• Calculer des intégrales définies par primitive, changement de variable ou intégration par parties, en contrôlant les unités et les bornes.

• Approcher numériquement une intégrale par des rectangles, comparer les erreurs et justifier un choix de pas.

• Étudier la convergence d’une série numérique avec un critère adapté et calculer sa somme lorsqu’une forme connue s’applique.

Prérequis

• Manipulation des fonctions usuelles, des limites et des règles élémentaires de calcul algébrique.

• Connaissance des suites, des inégalités, des puissances et de la notation sigma.

• Usage élémentaire d’un tableur ou de Python pour produire une boucle, un tableau de valeurs et un graphique.

Cours

1. Dérivation et approximation

Un développement limité (DL) remplace localement une fonction par un polynôme et mesure l’erreur par un reste. Au voisinage de $a$, un DL d’ordre $p$ s’écrit $f(a+h)=P_p(h)+o(h^p)$. Si $f$ est suffisamment dérivable, la formule de Taylor donne $P_p(h)=\sum_{k=0}^{p}f^{(k)}(a)h^k/k!$. Le DL sert à calculer des limites, comparer des fonctions et estimer une valeur; il n’est pas une égalité globale.

Exemple guidé. Pour $e^x$ en $0$, $e^x=1+x+x^2/2+o(x^2)$. Avec $x=0,1$, l’approximation d’ordre $2$ vaut $1+0,1+0,01/2=1,105$. Le terme suivant $x^3/6=0,0001666\ldots$ indique l’échelle de l’erreur; sur un intervalle borné, une majoration de Taylor doit utiliser une borne de la dérivée d’ordre $3$. L’erreur fréquente est de remplacer $o(h^2)$ par une constante connue, ou d’utiliser un DL autour de $0$ pour un point éloigné sans contrôler le reste. Point de contrôle : identifier le centre, l’ordre, le terme dominant du reste et la précision attendue avant de calculer.

Points-clés

• Un DL est une approximation locale avec un ordre et un reste, pas une identité valable partout.
• Les coefficients de Taylor sont les dérivées au centre divisées par les factorielles.
• La précision annoncée doit être reliée à une majoration du reste ou à un terme suivant justifié.

2. Intégration

L’intégrale définie de $f$ sur $[a,b]$ représente une accumulation orientée; son signe dépend de l’orientation et du signe de $f$. Si $F'=f$, le théorème fondamental donne $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$. Il faut distinguer une primitive, définie à une constante près, de la valeur numérique d’une intégrale. Le changement de variable simplifie une composée; l’intégration par parties traduit $(uv)'=u'v+uv'$.

Exemple guidé. Calculons $I=\int_0^1 xe^x\,dx$. Avec $u=x$, $dv=e^x dx$, donc $du=dx$ et $v=e^x$. Alors $I=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x dx=e-(e-1)=1$. Les bornes doivent être reportées après un changement de variable, ou bien on revient à la variable initiale. L’erreur fréquente est d’écrire une primitive sans vérifier sa dérivée ou de perdre le signe dans $F(a)-F(b)$. Point de contrôle : vérifier en dérivant la primitive proposée, puis estimer le signe et l’ordre de grandeur du résultat avant de conclure.

Points-clés

• Le théorème fondamental relie primitive et intégrale par une différence aux bornes.
• Le changement de variable et les parties sont des méthodes, avec des hypothèses et des bornes à contrôler.
• Une vérification par dérivation et une estimation qualitative détectent beaucoup d’erreurs de signe.

3. Séries numériques

Une série $\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles converge; il faut d’abord avoir $u_n\to0$, condition nécessaire mais non suffisante. La série géométrique converge pour $|q|<1$ et sa somme vaut $1/(1-q)$. La comparaison, le quotient et le critère des séries alternées évitent des manipulations abusives. La convergence absolue, définie par la convergence de $\sum|u_n|$, implique la convergence, mais l’inverse peut échouer.

Exemple guidé. Pour $S=\sum_{n=1}^{\infty}n/2^n$, on part de $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=1/(1-x)$ pour $|x|<1$. En dérivant puis en multipliant par $x$, $\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x/(1-x)^2$. Avec $x=1/2$, $S=2$. L’erreur fréquente est d’appliquer le critère du quotient sans calculer sa limite, ou de confondre le terme général et la somme. Point de contrôle : annoncer le critère, vérifier ses hypothèses, puis seulement calculer une somme ou une nature de convergence.

Points-clés

• La convergence d’une série est celle de ses sommes partielles et impose $u_n\to0$.
• Les critères doivent être choisis selon la forme du terme et leurs hypothèses doivent être vérifiées.
• La série $\sum n x^n$ se déduit de la géométrique par dérivation pour $|x|<1$.

4. Dérivation et étude locale

Analyse 2 (niveau L1, semestre S2) prolonge l’étude des limites par la dérivée, taux de variation instantané : $f'(a)=\lim_{h\to0}(f(a+h)-f(a))/h$ lorsque cette limite existe. Une fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse (par exemple $|x|$ en $0$). Les règles produit, quotient et chaîne permettent de dériver des expressions composées. Sur un intervalle, le signe de $f'$ donne les variations; si $f'$ s’annule, il faut encore étudier son signe, pas conclure automatiquement à un extremum.

Exemple guidé. Pour $f(x)=x^3-3x+1$, on obtient $f'(x)=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$. Le signe est positif sur $(-\infty,-1)$ et $(1,+\infty)$, négatif sur $(-1,1)$. Donc $f$ croît, décroît, puis croît; $f(-1)=3$ est un maximum local et $f(1)=-1$ un minimum local. L’erreur fréquente est d’oublier le domaine ou les points où la dérivée n’existe pas. Point de contrôle : expliquer pourquoi $f'(a)=0$ est une condition nécessaire, mais non suffisante, d’un extremum intérieur.

Points-clés

• La dérivée est une limite locale et la dérivabilité implique la continuité.
• Le tableau de signes de la dérivée, avec le domaine, justifie les variations et les extrema.
• Un point critique doit être interprété par un changement de signe ou une autre preuve, jamais par sa seule annulation.

5. Approximation numérique par rectangles

Pour approximer $I=\int_a^b f(x)dx$, on partage $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h=(b-a)/n$. Les rectangles à gauche, à droite ou au milieu donnent respectivement des sommes de Riemann; la méthode du milieu est souvent plus précise pour une fonction régulière. Si $|f'|\le M$ sur l’intervalle, l’erreur d’une somme à gauche ou à droite est majorée par $M(b-a)h/2$. Pour comparer des méthodes, on garde le même $n$, on calcule l’écart à une référence et on représente l’erreur.

Exemple guidé. Sur $[0,1]$, pour $f(x)=x^2$ et $n=2$, $h=1/2$. La somme à gauche vaut $h[f(0)+f(1/2)]=1/8$, celle à droite $h[f(1/2)+f(1)]=5/8$, et celle du milieu $h[f(1/4)+f(3/4)]=5/16$. La valeur exacte est $1/3$; l’erreur du milieu est donc $1/48$. Les erreurs fréquentes sont de mélanger largeur et nombre de rectangles, ou de comparer des résultats arrondis trop tôt. Point de contrôle : écrire explicitement les points d’échantillonnage et vérifier que chaque terme a l’unité “valeur de $f$ fois longueur”.

Points-clés

• Le pas est $h=(b-a)/n$ et détermine à la fois les points et la largeur des rectangles.
• Les sommes gauche, droite et milieu ne prennent pas les mêmes abscisses et n’ont pas la même erreur.
• Une comparaison fiable conserve la référence, le pas, la méthode et la précision d’affichage.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x^2+2$ sur $\mathbb R$, puis donner ses extrema locaux.

Correction détaillée

1. Le domaine est $\mathbb R$. 2. $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. 3. Comme $3>0$, le signe est positif sur $(-\infty,0)$, négatif sur $(0,2)$ et positif sur $(2,+\infty)$. 4. Donc $f$ croît, puis décroît, puis croît. 5. $f(0)=2$: c’est un maximum local; $f(2)=8-12+2=-2$: c’est un minimum local. Les limites $f(x)\to-\infty$ à gauche et $f(x)\to+\infty$ à droite complètent l’étude.

Exercice 2 · Fondamental

Calculer exactement $I=\int_0^1(2x+1)\,dx$, puis contrôler le résultat par une interprétation géométrique.

Correction détaillée

1. Une primitive de $2x+1$ est $F(x)=x^2+x$. 2. Le théorème fondamental donne $I=F(1)-F(0)=(1+1)-0=2$. 3. Géométriquement, la droite $y=2x+1$ forme sur $[0,1]$ un trapèze de bases $1$ et $3$, de largeur $1$; son aire vaut $(1+3)\times1/2=2$. Les deux méthodes concordent, et l’intégrande étant positive, le résultat positif est cohérent.

Exercice 3 · Intermédiaire

Utiliser le DL de $\ln(1+x)$ à l’ordre $3$ en $0$ pour approximer $\ln(1,2)$, puis donner une estimation de l’erreur en utilisant le terme suivant.

Correction détaillée

1. Pour $|x|<1$, $\ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+\cdots$. 2. À l’ordre $3$ et avec $x=0,2$, on obtient $0,2-0,04/2+0,008/3=0,202666\ldots$. 3. La série est alternée à termes décroissants ici; l’erreur après l’ordre $3$ est au plus le premier terme omis, $0,2^4/4=0,0004$. 4. Ainsi $\ln(1,2)$ est dans l’intervalle approximatif $[0,202266\ldots,0,203066\ldots]$ et la valeur calculée est justifiée.

Exercice 4 · Intermédiaire

Étudier puis sommer $\displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3n+1}{4^n}$. Justifie la démarche étape par étape, puis vérifie le résultat par une propriété ou une substitution adaptée.

Correction détaillée

1. Écrire $S=3\sum_{n=0}^{\infty}n(1/4)^n+\sum_{n=0}^{\infty}(1/4)^n$. 2. Les deux séries convergent car $|1/4|<1$. 3. La géométrique vaut $1/(1-1/4)=4/3$. 4. En dérivant la géométrique, $\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=x/(1-x)^2$; pour $x=1/4$, elle vaut $(1/4)/(3/4)^2=4/9$. 5. Donc $S=3(4/9)+4/3=4/3+4/3=8/3$.

Exercice 5 · Avancé

Étudier la convergence absolue et simple de $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{n^2+1}$. Justifier soigneusement le critère utilisé.

Correction détaillée

1. Posons $a_n=n/(n^2+1)>0$. On a $a_n\to0$ car $a_n\sim1/n$. 2. Pour vérifier la décroissance à partir d’un rang, considérer $g(x)=x/(x^2+1)$; $g'(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2<0$ pour $x>1$. Ainsi $(a_n)$ décroît dès $n=2$. 3. Le critère des séries alternées implique la convergence de la série signée. 4. La série des valeurs absolues diverge par comparaison: pour $n\ge1$, $n/(n^2+1)\ge n/(2n^2)=1/(2n)$, et la série harmonique diverge. 5. La convergence est donc conditionnelle, non absolue.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle condition est nécessaire à la convergence de $\sum u_n$ ?

✓ $u_n\to0$ • $u_n\to1$ • $u_n$ est croissante • $u_n$ est toujours positif

Explication : Les sommes partielles ne peuvent converger que si leur différence successive $u_n$ tend vers zéro. Cette condition n’est toutefois pas suffisante.

Question 2

Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, que peut-on conclure ?

✓ $f$ y est strictement croissante • $f$ y est constante • $f$ y est strictement décroissante • $f$ y est nécessairement affine

Explication : Le théorème des accroissements finis donne une variation positive entre deux points distincts de l’intervalle.

Question 3

Quelle est la valeur de $\int_a^b f(x)dx$ si $F'=f$ ?

• $F(a)-F(b)$ ✓ $F(b)-F(a)$ • $F(a)F(b)$ • $F(b)/F(a)$

Explication : Le théorème fondamental de l’analyse évalue l’intégrale par la primitive à la borne supérieure moins sa valeur à la borne inférieure.

Question 4

Lequel est un DL correct de $\sin x$ en $0$ à l’ordre $3$ ?

• $1+x+x^2/2$ ✓ $x-x^3/6+o(x^3)$ • $x+x^2+x^3$ • $1-x^2/2+o(x^3)$

Explication : Les dérivées de sinus en zéro donnent $0,1,0,-1$, donc $\sin x=x-x^3/6+o(x^3)$.

Question 5

Avec $n$ rectangles sur $[a,b]$, quelle est la largeur d’un rectangle ?

• $n(b-a)$ • $n/(b-a)$ ✓ $(b-a)/n$ • $a+b+n$

Explication : La longueur totale $b-a$ est partagée en $n$ intervalles égaux, donc chaque largeur vaut $h=(b-a)/n$.

Question 6

La convergence absolue d’une série implique :

• sa divergence ✓ sa convergence • que tous ses termes sont nuls • qu’elle est géométrique

Explication : Si $\sum|u_n|$ converge, les sommes de $\sum u_n$ sont contrôlées par celles des valeurs absolues; la série converge donc.

Question 7

Pour une intégration par parties, quelle identité utilise-t-on ?

✓ $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ • $\int u\,dv=u+v$ • $\int u\,dv=uv+\int v\,du$ • $\int u\,dv=u/v$

Explication : Elle découle de $(uv)'=u'v+uv'$ et permet de transférer la dérivation d’un facteur à l’autre.

Question 8

Une fonction dérivable en $a$ est nécessairement :

• discontinue en $a$ ✓ continue en $a$ • périodique • bornée sur $\mathbb R$

Explication : La dérivabilité fournit un développement $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$, qui entraîne la continuité en $a$.

Glossaire

• Dérivée — Limite du taux de variation local d’une fonction, quand elle existe; elle décrit une pente instantanée.
• Point critique — Point du domaine où la dérivée est nulle ou n’existe pas; il doit être étudié pour conclure sur les variations.
• Développement limité — Approximation locale polynomiale d’une fonction, accompagnée d’un terme de reste qui précise l’ordre de l’erreur.
• Primitive — Fonction dont la dérivée est l’intégrande; deux primitives sur un intervalle diffèrent d’une constante.
• Intégrale définie — Accumulation orientée d’une fonction entre deux bornes, calculable par une primitive sous les hypothèses usuelles.
• Somme de Riemann — Approximation d’une intégrale par une somme de valeurs de la fonction multipliées par des largeurs de sous-intervalles.
• Série numérique — Expression de la limite éventuelle des sommes partielles d’une suite de termes; sa convergence est une propriété globale.
• Convergence absolue — Convergence de la série des valeurs absolues; elle entraîne la convergence de la série initiale.

TP · Mini-cas : estimer une aire sous une courbe par rectangles

Une équipe doit estimer $I=\int_0^1 e^{-x^2}dx$, aire sans primitive élémentaire, pour comparer trois choix de discrétisation. Le travail est réalisable avec un tableur ou un court script Python et s’appuie sur le projet catalogue d’Analyse 2 : approcher une intégrale par rectangles et comparer les erreurs.

Objectifs

• Implémenter correctement les sommes à gauche, à droite et au milieu.

• Comparer les approximations pour $n=10,50,100$ et interpréter l’effet du pas.

• Contrôler les résultats par les bornes $0<e^{-x^2}\le1$ et par une référence numérique plus fine.

• Rédiger une conclusion distinguant erreur de méthode, arrondi et choix de discrétisation.

Étapes

1. Définir $f(x)=e^{-x^2}$, l’intervalle $[0,1]$ et une fonction qui reçoit $n$ et le type de point d’échantillonnage.

2. Calculer $h=1/n$, puis sommer $h f(x_i)$ pour les points gauches, droits et milieux; conserver au moins 10 chiffres pendant le calcul.

3. Répéter pour $n=10,50,100$ et stocker approximation, écart entre méthodes et temps ou nombre d’opérations.

4. Produire un tableau et un graphique des approximations en fonction de $n$; prendre une valeur de référence avec $n=100000$ au milieu.

5. Commenter les tendances, vérifier que toutes les estimations restent entre $0$ et $1$, puis proposer le réglage répondant à une précision de $10^{-4}$.

Livrables attendus

• Un script ou tableur reproductible avec paramètres $n$ et méthode clairement identifiés.

• Un tableau des résultats pour les trois méthodes et trois valeurs de $n$, avec unités et arrondis explicités.

• Une note d’une page contenant graphique, contrôle de cohérence et recommandation argumentée.

Critères d’évaluation

• Exactitude des formules et des points d’échantillonnage : 30 %.

• Reproductibilité, lisibilité du code ou des formules et absence d’arrondi prématuré : 25 %.

• Comparaison quantitative des erreurs et interprétation mathématique : 30 %.

• Qualité de la restitution, limites et conclusion vérifiable : 15 %.

Piste de résolution

La solution attendue définit $h=1/n$ et calcule $L_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(ih)$, $R_n=h\sum_{i=1}^{n}f(ih)$ et $M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f((i+1/2)h)$. Pour cette fonction décroissante, $L_n$ surestime et $R_n$ sous-estime l’intégrale; le milieu se rapproche généralement plus vite. Les valeurs doivent converger vers une référence numérique proche de $0,746824$ sans être présentées comme une valeur symbolique exacte. Une conclusion solide donne les écarts, le pas retenu et les contrôles $0<I<1$ plutôt qu’un seul nombre non documenté.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — Analyse 2, session normale

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale non officielle. Il ne constitue ni une épreuve institutionnelle ni une annale d’années passées.

Exercice 1

Soit $f(x)=\ln x/x$ sur $(0,+\infty)$. Déterminer $f'(x)$, les variations et les éventuels extrema.

Correction : On dérive par quotient ou produit: $f'(x)=(1-\ln x)/x^2$. Le dénominateur est positif; le signe dépend de $1-\ln x$. Il est positif si $x<e$, nul en $e$, négatif si $x>e$. Ainsi $f$ croît sur $(0,e)$ puis décroît sur $(e,+\infty)$, avec maximum $f(e)=1/e$. Les limites sont $-\infty$ en $0^+$ et $0$ en $+\infty$ (par exemple par croissance de $x$ face à $\ln x$).

Exercice 2

Calculer $I=\int_0^1 x\ln(1+x)\,dx$ par intégration par parties.

Correction : Choisir $u=\ln(1+x)$ et $dv=x\,dx$, donc $du=dx/(1+x)$ et $v=x^2/2$. Alors $I=[x^2\ln(1+x)/2]_0^1-\frac12\int_0^1x^2/(1+x)\,dx$. La division donne $x^2/(1+x)=x-1+1/(1+x)$. L’intégrale résiduelle vaut $[x^2/2-x+\ln(1+x)]_0^1=\ln2-1/2$. Donc $I=\ln2/2-\frac12(\ln2-1/2)=1/4$.

Exercice 3

Étudier la convergence et la convergence absolue de $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n/\sqrt n$.

Correction : Le terme $a_n=1/\sqrt n$ tend vers zéro et décroît. Le critère des séries alternées donne donc la convergence de $\sum(-1)^n a_n$. En revanche, la série absolue est $\sum1/\sqrt n$, une série de Riemann de paramètre $p=1/2\le1$, donc divergente. La convergence est conditionnelle.

Sujet original de préparation — Analyse 2, session de rattrapage

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale non officielle. Il ne constitue ni une épreuve institutionnelle ni une annale d’années passées; ses questions sont distinctes du sujet normal.

Exercice 1

Pour $g(x)=xe^{-x}$ sur $[0,+\infty)$, déterminer les variations, le maximum et la limite en $+\infty$.

Correction : On a $g'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x)$. Comme $e^{-x}>0$, $g'$ est positif sur $[0,1)$ et négatif sur $(1,+\infty)$. La fonction croît puis décroît; son maximum est $g(1)=1/e$. Enfin $xe^{-x}=x/e^x\to0$ car l’exponentielle domine toute puissance.

Exercice 2

Calculer $J=\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\,dx$ et expliquer le changement de variable.

Correction : Poser $u=1+x^2$, alors $du=2x\,dx$. Les bornes deviennent $u=1$ et $u=2$. Donc $J=\frac12\int_1^2du/u=\frac12[\ln u]_1^2=\frac12\ln2$. Le changement est valide car $u$ est dérivable et les bornes ont été transformées; on pourrait aussi revenir à $x$ avant d’évaluer.

Exercice 3

Déterminer la nature de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2+1}{n^3+2}$ et justifier par comparaison limite.

Correction : Les termes sont positifs. Comparons à $1/n$: $\frac{(n^2+1)/(n^3+2)}{1/n}=\frac{n^3+n}{n^3+2}\to1$. La comparaison limite avec la série harmonique montre que la série diverge. Il ne suffit pas de constater que le terme tend vers zéro: ce n’est qu’une condition nécessaire.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Dérivées, domaine, signe et variations

Refaire deux tableaux de variations, vérifier chaque dérivée par une règle nommée et résoudre le quiz 1 à 3. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · DL, Taylor et contrôle du reste

Mémoriser les DL usuels, traiter l’exercice 3 et produire trois approximations avec une précision annoncée. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Primitives, intégrales et rectangles

Alterner calcul exact et mini-cas numérique; vérifier signes, bornes, unités et comparer gauche, droite, milieu. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Séries et entraînement transversal

Associer chaque série à un critère, faire l’exercice avancé puis réaliser un sujet original en temps limité avec relecture finale. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.