Dossier complet — Analyse 1

L1 · S1 · Mathématiques fondamentales

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Manipuler intervalles, valeur absolue, bornes et propriété de la borne supérieure dans $\mathbb R$.

• Définir et démontrer la convergence de suites par calcul, comparaison, encadrement ou monotonie.

• Calculer des limites de suites et de fonctions en identifiant les formes indéterminées et les transformations légitimes.

• Utiliser la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires pour établir existence et, avec une hypothèse supplémentaire, unicité.

• Rédiger une démonstration d’analyse lisible, avec quantificateurs, hypothèses, unités de tolérance et vérification des erreurs.

Prérequis

• Calcul algébrique réel : fractions, puissances, racines, valeur absolue et résolution d’inégalités.

• Notions élémentaires de logique, quantificateurs, implication, récurrence et raisonnement par l’absurde.

• Fonctions usuelles et lecture de graphiques : polynômes, exponentielle, logarithme, sinus et cosinus.

Cours

1. Les nombres réels et les bornes

Définitions et méthode

Un intervalle décrit une partie de $\mathbb R$ par des inégalités ; une borne supérieure de $A$ est un nombre plus grand ou égal à tous les éléments de $A$, et $\sup A$ est la plus petite de ces bornes. La propriété de la borne supérieure affirme que toute partie non vide de $\mathbb R$ majorée possède un supremum. Elle distingue la complétude de $\mathbb R$ de celle de $\mathbb Q$. Pour raisonner, traduire d’abord l’énoncé en inégalités, puis vérifier non-vacuité et majoration.

Exemple guidé

Pour $A=\{x\in\mathbb R\mid x^2<2\}$, on obtient $A=(-\sqrt2,\sqrt2)$. Les majorants sont $[\sqrt2,+\infty[$ ; le plus petit est donc $\sup A=\sqrt2$. De même, $\inf A=-\sqrt2$. Les bornes ne sont pas nécessairement dans $A$ : ici $A$ est ouvert.

Erreurs et contrôle

Ne pas confondre maximum et supremum, ni écrire $\sup A\in A$ sans preuve. Point de contrôle : déterminer l’infimum et le minimum de $B=]0,3]$ : ils valent respectivement $0$ et $3$.

Points-clés

• La borne supérieure est la plus petite des majorations.
• Un supremum peut ne pas appartenir à l’ensemble.
• Les intervalles traduisent directement des inégalités et leurs bornes.

2. Suites et convergence

Définition et propriétés

Une suite réelle $(u_n)$ converge vers $\ell$ si $\forall\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $n\ge N$ implique $|u_n-\ell|<\varepsilon$. La limite est unique. Les opérations usuelles sont valables lorsque les limites existent ; une suite croissante et majorée converge, avec limite égale à son supremum. Le théorème des gendarmes est efficace lorsqu’une quantité est encadrée par deux suites de même limite.

Exemple guidé

Posons $u_n=(2n+1)/(n+3)$. En divisant numérateur et dénominateur par $n$, $u_n=(2+1/n)/(1+3/n)\to2$. Pour une preuve quantitative, $|u_n-2|=5/(n+3)$. Si l’on veut une erreur $<\varepsilon$, il suffit de choisir $N>5/\varepsilon-3$. La définition est donc vérifiée.

Limites et contrôle

Une suite bornée n’est pas forcément convergente : $(-1)^n$ est un contre-exemple. Ne pas conclure à partir de quelques termes. Point de contrôle : montrer par encadrement que $\sqrt{n^2+1}-n\to0$, en rationalisant pour obtenir $1/(\sqrt{n^2+1}+n)$.

Points-clés

• La définition de convergence utilise deux quantificateurs.
• Monotonie et bornitude donnent un critère pratique.
• Le gendarme et la rationalisation évitent des calculs trompeurs.

3. Continuité

Définitions et méthode

Une fonction $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ ; elle est continue sur un intervalle si elle l’est en chaque point. Les polynômes et fonctions rationnelles sur leur domaine sont continues, et les compositions préservent la continuité. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’une fonction continue sur $[a,b]$ prend toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$.

Exemple guidé

Pour $f(x)=x^3-x-1$, on a $f(1)=-1$ et $f(2)=5$. Comme $f$ est continue, il existe $c\in(1,2)$ tel que $f(c)=0$. Pour localiser cette racine, $f(1{,}2)=-0{,}472$ et $f(1{,}3)= -0{,}103$, tandis que $f(1{,}4)=0{,}344$ : la racine est dans $(1{,}3,1{,}4)$.

Limites et contrôle

Le théorème garantit l’existence. L’unicité vient ici de la stricte croissance, car $f'(x)=3x^2-1>0$ sur $[1,2]$. Point de contrôle : justifier une solution de $\cos x=x$ sur $[0,1]$ avec $g(x)=\cos x-x$.

Points-clés

• La continuité relie limite locale et valeur au point.
• Le théorème des valeurs intermédiaires donne une existence.
• L’unicité demande une information supplémentaire comme la monotonie.

4. Limites de fonctions

Définitions et méthode

La limite $\lim_{x\to a}f(x)=L$ signifie que les valeurs de $f(x)$ sont proches de $L$ lorsque $x$ est proche de $a$, sans imposer $x=a$. On peut utiliser les règles algébriques, la comparaison, les limites usuelles et les équivalents. Pour une forme indéterminée comme $0/0$, factoriser, rationaliser ou mettre en évidence un équivalent ; substituer directement n’est pas une démonstration.

Exemple guidé

Calculons $\lim_{x\to1}(x^2-1)/(x-1)$. Pour $x\ne1$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$, donc le quotient vaut $x+1$. Sa limite est alors $2$. La fonction initiale n’est pas définie en $1$, mais cela n’empêche pas l’existence de la limite. On pourrait la prolonger par continuité en posant $f(1)=2$.

Limites et contrôle

Une limite à gauche peut différer de celle à droite ; il faut les comparer. Point de contrôle : étudier $\lim_{x\to0}\sin x/x$ à l’aide de l’encadrement $\cos x\le\sin x/x\le1$ pour $x>0$, puis conclure par parité.

Points-clés

• Une limite ne dépend pas nécessairement de la valeur au point.
• Les formes indéterminées exigent une transformation justifiée.
• Les limites latérales doivent coïncider pour une limite bilatérale.

5. Méthodes de preuve et synthèse

Définitions et méthode

Une démonstration d’analyse doit expliciter hypothèses, quantificateurs et implication logique. Les outils centraux sont le raisonnement par contraposée, l’absurde, l’encadrement, la récurrence et la caractérisation séquentielle de la continuité. Pour une convergence, choisir une estimation qui tend vers zéro ; pour une continuité, ramener la différence $|f(x)-f(a)|$ à une quantité contrôlée par $|x-a|$.

Exemple guidé

Montrons que $u_n=1/n\to0$. Soit $\varepsilon>0$. Choisir $N>1/\varepsilon$. Pour $n\ge N$, $|u_n-0|=1/n\le1/N<\varepsilon$. La preuve respecte l’ordre « pour tout epsilon, il existe un rang ». Elle ne repose pas sur un dessin ni sur des valeurs numériques.

Limites et contrôle

Un raisonnement du type « les termes deviennent petits » est intuitif mais incomplet. Vérifier aussi les indices, le signe des dénominateurs et les hypothèses des théorèmes. Point de contrôle : rédiger en quatre lignes une preuve que si $u_n\to\ell$ et $v_n\to m$, alors $u_n+v_n\to\ell+m$, en utilisant l’inégalité triangulaire.

Points-clés

• Une preuve complète rend visibles hypothèses et quantificateurs.
• L’inégalité triangulaire répartit une tolérance entre plusieurs erreurs.
• Chaque théorème doit être appliqué avec ses hypothèses vérifiées.

6. Dérivation, variations et théorème des accroissements finis

Cours magistral

Définitions et principes

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert contenant $a$. La dérivée de $f$ en $a$ est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h\to0$. Elle représente la pente de la tangente et fournit l’approximation locale $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$. Cette formule exige la dérivabilité en $a$ ; une fonction peut être continue sans être dérivable, comme $|x|$ en zéro.

Les règles de dérivation se déduisent de la définition : somme, produit et quotient (avec dénominateur non nul), puis composition par la règle de la chaîne. Sur un intervalle, si $f'(x)>0$ partout, $f$ est strictement croissante ; si $f'(x)<0$, elle est strictement décroissante. Le théorème des accroissements finis (TAF) demande que $f$ soit continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Il donne un $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$. Il se justifie en appliquant le théorème de Rolle à la fonction qui soustrait la droite joignant les deux extrémités.

Développement raisonné

Le TAF transforme une information locale en estimation globale. Si $|f'|\le M$ sur l’intervalle, alors $|f(b)-f(a)|\le M|b-a|$. Cette inégalité explique pourquoi une dérivée bornée contrôle les erreurs d’approximation et permet aussi d’établir l’unicité d’une solution lorsque la dérivée garde un signe strict. Elle permet également de montrer qu’une fonction lipschitzienne est uniformément continue : une même constante contrôle toutes les positions de l’intervalle. Pour chercher des extrema sur un segment, on examine les points critiques ($f'=0$ ou dérivée inexistante) et les extrémités, puis on compare les valeurs. Un tableau de signes évite de confondre le signe de la dérivée avec celui de la fonction et rend la conclusion vérifiable. La méthode s’applique aussi à une fonction définie par morceaux, à condition d’étudier séparément les points de raccord et de tester la dérivabilité qui y est annoncée.

Exemple résolu

Étudions $f(x)=x^3-3x+1$ sur $[-2,2]$. D’abord, $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Les points critiques sont $-1$ et $1$. Le signe est positif sur $[-2,-1[$, négatif sur $]-1,1[$, puis positif sur $]1,2]$. Ainsi $f$ croît, décroît, puis croît. On calcule $f(-2)=-1$, $f(-1)=3$, $f(1)=-1$ et $f(2)=3$. Le maximum vaut donc $3$, atteint en $-1$ et $2$ ; le minimum vaut $-1$, atteint en $-2$ et $1$.

Erreurs fréquentes

Confondre continuité et dérivabilité, oublier de vérifier les hypothèses du TAF, ou conclure à un extremum parce que $f'(a)=0$ sans étudier le signe ou les valeurs voisines. Une dérivée nulle peut correspondre à un point d’inflexion.

À retenir

La dérivée décrit la variation locale, tandis que le TAF la relie aux variations entre deux points. Une étude complète combine domaine, dérivée, signe, points critiques et bornes du segment.

Points-clés

• La dérivée est la limite d’un taux d’accroissement et donne une approximation locale.
• Le TAF exige la continuité sur le segment et la dérivabilité à l’intérieur.
• Le signe de la dérivée détermine les variations, mais les extrema se vérifient par comparaison.

7. Développements limités et approximation contrôlée

Cours magistral

Définitions et principes

Au voisinage de $a$, un développement limité d’ordre $n$ écrit une fonction sous la forme $f(a+h)=P_n(h)+o(h^n)$, où $P_n$ est un polynôme de degré au plus $n$. Si $f$ est $n$ fois dérivable en $a$, la formule de Taylor-Young donne $P_n(h)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k$. Le symbole $o(h^n)$ signifie que le quotient du reste par $h^n$ tend vers zéro ; il ne signifie pas que le reste est exactement nul.

Pour une erreur chiffrée, la formule de Taylor avec reste de Lagrange demande que $f$ soit $n+1$ fois dérivable entre $a$ et $a+h$. Il existe alors $\xi$ entre ces deux points tel que $R_n(h)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}h^{n+1}$. Une majoration de $|f^{(n+1)}|$ sur l’intervalle donne donc une borne de l’erreur. Le choix de l’ordre dépend de la précision souhaitée et de la taille de $h$.

Développement raisonné

Les formules usuelles se retrouvent par dérivation : $e^h=1+h+h^2/2+o(h^2)$, $\sin h=h-h^3/6+o(h^3)$ et $\ln(1+h)=h-h^2/2+o(h^2)$. On peut additionner, multiplier ou composer des développements si les ordres conservés sont cohérents. Pour une limite, on garde le premier terme non nul ; pour une approximation numérique, on conserve assez de termes et on contrôle le reste. Cette méthode révèle aussi la nature d’un point stationnaire : si les premiers coefficients s’annulent, le premier terme non nul gouverne le signe local. Elle est donc utile pour comparer deux fonctions, déterminer une équivalence et justifier une simplification qui serait fausse par simple substitution. L’écriture des puissances restantes est importante : un terme d’ordre trois devient négligeable devant un terme d’ordre deux, mais pas devant zéro sans précision supplémentaire. Cette distinction protège contre les conclusions trop rapides lors d’une limite.

Exemple résolu

Approximons $\ln(1{,}1)$ à l’ordre deux. Avec $h=0{,}1$, le développement en zéro donne $\ln(1+h)=h-h^2/2+R_2(h)$. La valeur polynomiale est donc $0{,}1-0{,}01/2=0{,}095$. Pour contrôler le reste, $f^{(3)}(x)=2/(1+x)^3$. Sur $[0,0{,}1]$, on a $|f^{(3)}(x)|\le2$, d’où $|R_2(0{,}1)|\le2(0{,}1)^3/6=0{,}000333\ldots$. La valeur exacte est ainsi dans $[0{,}094667,0{,}095333]$ ; l’approximation respecte une erreur inférieure à $3{,}34\times10^{-4}$.

Exemple d’application : approcher une racine

Pour estimer $\sqrt{4{,}1}$, on développe $f(x)=\sqrt{x}$ autour de $a=4$. On a $f(4)=2$ et $f'(4)=1/4$, donc l’approximation linéaire vaut $2+(4{,}1-4)/4=2{,}025$. Pour borner l’erreur, $f''(x)=-1/(4x^{3/2})$. Sur $[4,4{,}1]$, $|f''(x)|\le1/32$; le reste de Taylor d’ordre un est donc inférieur à $(1/32)(0{,}1)^2/2=0{,}00015625$. Ainsi la valeur réelle appartient à $[2{,}02484375,2{,}02515625]$; calculée plus précisément, elle vaut environ $2{,}024846$. L’approximation est utile et sa précision est justifiée par une borne, pas seulement par l’affichage d’une calculatrice.

Erreurs fréquentes

Employer un développement autour de zéro pour une valeur éloignée sans estimer le reste, oublier le factoriel, confondre ordre deux et deux termes non nuls, ou remplacer $o(h^n)$ par une égalité numérique exacte. Il faut aussi vérifier l’intervalle où les dérivées sont bornées.

À retenir

Un développement limité est une égalité asymptotique structurée : le polynôme décrit le comportement local et le reste mesure la précision. Taylor-Lagrange permet de passer d’une approximation formelle à une garantie quantitative.

Points-clés

• Le développement limité sépare un polynôme local et un reste asymptotique.
• Taylor-Lagrange fournit une borne numérique si la dérivée d’ordre suivant est contrôlée.
• L’ordre retenu doit être adapté à la précision et à la distance au point de développement.

8. Intégrale, sommes de Riemann et théorème fondamental

Cours magistral

Définitions et principes

Une fonction bornée $f$ sur $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann lorsque les sommes inférieures et supérieures associées aux subdivisions peuvent être rendues arbitrairement proches. Intuitivement, une somme $\sum f(x_k)\Delta x_k$ additionne des rectangles dont la largeur est $\Delta x_k$ ; quand le pas tend vers zéro, elle converge vers $\int_a^b f(x)\,dx$. La continuité sur $[a,b]$ est une condition suffisante d’intégrabilité, mais elle n’est pas nécessaire dans toute la théorie.

L’intégrale est linéaire et respecte l’ordre : si $f\le g$, alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$. Elle vérifie aussi l’additivité par découpage, $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$. Le théorème fondamental affirme que, si $f$ est continue, $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable et $F'(x)=f(x)$. Par conséquent, si $G'=f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$. La continuité garantit ici l’hypothèse nécessaire ; sans elle, il faut un cadre plus prudent.

Développement raisonné

La formule de primitive se justifie en interprétant $F(x+h)-F(x)$ comme l’intégrale sur un petit intervalle. La continuité impose que $f(t)$ soit proche de $f(x)$ sur cet intervalle ; en divisant par $h$, le taux moyen tend vers $f(x)$. Cette justification explique aussi pourquoi un changement de variable doit transformer simultanément l’expression et les bornes, afin de conserver exactement la contribution de chaque petit intervalle. Pour une application, on cherche donc une primitive, on respecte les bornes et on contrôle le signe ou l’unité de l’aire obtenue. Une estimation par encadrement constitue un contrôle supplémentaire lorsque le calcul symbolique est long. Dans une interprétation géométrique, on peut aussi comparer l’intégrale à des rectangles ou à une valeur maximale multipliée par la longueur du segment. Ces contrôles sont particulièrement utiles pour détecter une primitive mal dérivée.

Exemple résolu

Calculons $I=\int_0^1(3x^2+2x)\,dx$. Le polynôme est continu, donc intégrable. Une primitive est $G(x)=x^3+x^2$, car $G'(x)=3x^2+2x$. Le théorème fondamental donne ensuite $I=G(1)-G(0)=(1+1)-0=2$. Vérification indépendante : sur $[0,1]$, l’intégrande est positive, donc l’intégrale doit être positive ; de plus $3x^2+2x\le5$, ainsi $I\le5$, ce qui est compatible avec $2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante uniquement lors d’une primitive indéfinie, mais l’ajouter inutilement dans une intégrale définie, inverser les bornes, ou confondre une intégrale signée avec une aire géométrique. Une fonction négative produit une intégrale négative, sauf si l’on prend explicitement une aire par valeur absolue.

À retenir

L’intégrale est une limite de sommes et un opérateur d’accumulation. Pour une fonction continue, primitive et intégrale sont reliées par le théorème fondamental ; les bornes, le signe et les hypothèses doivent toujours être vérifiés.

Points-clés

• La somme de Riemann formalise l’accumulation de contributions sur une subdivision.
• Une fonction continue sur un segment est intégrable.
• Le théorème fondamental transforme une intégrale en différence de valeurs d’une primitive.
• Le signe et l’orientation des bornes distinguent intégrale et aire géométrique.

9. Séries numériques et critères de convergence

Cours magistral

Définitions et principes

Une série numérique $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ n’est pas une addition informelle : on définit ses sommes partielles $S_N=\sum_{n=0}^{N}a_n$. La série converge si $(S_N)$ possède une limite finie, appelée somme. Une condition nécessaire est $a_n\to0$, mais elle ne suffit pas, comme le montre la série harmonique $\sum1/n$. Une série converge absolument lorsque $\sum|a_n|$ converge ; cette propriété entraîne la convergence de la série initiale.

Les séries géométriques sont centrales : $\sum_{n=0}^{\infty}q^n$ converge exactement lorsque $|q|<1$ et vaut $1/(1-q)$. Le critère de comparaison s’applique aux termes positifs : si $0\le a_n\le b_n$ et si $\sum b_n$ converge, alors $\sum a_n$ converge. Le critère du rapport est utile quand $a_n\ne0$ à partir d’un certain rang : si $\lim|a_{n+1}/a_n|=L<1$, la série converge absolument ; si $L>1$, elle diverge, et le cas $L=1$ ne permet pas de conclure.

Développement raisonné

La convergence d’une série est donc une question de limite de suite. Pour une estimation de reste, si les termes sont positifs et décroissants, le reste après $N$ termes est encadré par des intégrales ; pour une série géométrique, le calcul est exact. Une série alternée dont les amplitudes décroissent vers zéro converge également, et son reste est au plus le premier terme oublié, mais elle ne converge pas nécessairement absolument. Il faut commencer par vérifier que le terme général tend vers zéro, puis choisir un critère adapté à sa structure : puissance, quotient, comparaison ou alternance. Cette organisation évite d’appliquer mécaniquement un test hors de son domaine. Dans tous les cas, une conclusion de divergence doit être attachée à un argument précis : terme général non nul, comparaison avec une série divergente ou comportement des sommes partielles.

Exemple résolu

Calculons $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$. Posons $G(q)=\sum_{n=0}^{\infty}q^n=1/(1-q)$ pour $|q|<1$. Comme cette série converge uniformément sur tout intervalle fermé contenu dans $]-1,1[$, on peut dériver terme à terme : $G'(q)=\sum_{n=1}^{\infty}nq^{n-1}=1/(1-q)^2$. En multipliant par $q$, on obtient $\sum_{n=1}^{\infty}nq^n=q/(1-q)^2$. Pour $q=1/2$, la somme vaut $(1/2)/(1/2)^2=2$. Le rapport des termes vaut $\frac{n+1}{2n}\to1/2$, ce qui confirme la convergence absolue.

Erreurs fréquentes

Conclure parce que $a_n\to0$, appliquer le critère du rapport quand la limite vaut un, ou décaler l’indice sans modifier correctement le premier terme. La dérivation terme à terme exige aussi des hypothèses de convergence, pas seulement une intuition formelle.

À retenir

Une série converge par convergence de ses sommes partielles. Le terme général est un test préalable, jamais une preuve suffisante ; les critères doivent être choisis selon la forme des termes et leurs hypothèses.

Points-clés

• La série est la limite de ses sommes partielles, et non une addition infinie spontanée.
• $a_n o0$ est nécessaire mais non suffisant.
• La comparaison et le critère du rapport donnent la convergence absolue sous des hypothèses précises.
• La série géométrique fournit une référence et une somme explicite.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Soit $A=]-2,5]$. Déterminer son infimum, son minimum, son supremum et son maximum, en justifiant chaque réponse.

Correction détaillée

On a $-2<x\le5$. Toute valeur de $A$ est supérieure ou égale à $-2$, donc $-2$ est une borne inférieure ; aucune valeur n’est égale à $-2$, donc il n’y a pas de minimum. Toute valeur est inférieure ou égale à $5$, et $5\in A$ : $\sup A=\max A=5$. Ainsi $\inf A=-2$, sans minimum, et $\sup A=5$, avec maximum $5$.

Exercice 2 · Fondamental

Étudier la convergence de $u_n=\sqrt{n^2+3n}-n$ et calculer sa limite. Justifie la démarche étape par étape, puis vérifie le résultat par une propriété ou une substitution adaptée.

Correction détaillée

On rationalise : u_n=rac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}=rac{3}{\sqrt{1+3/n}+1}. Comme $3/n o0$, le dénominateur tend vers $2$. Par les règles de limite, $u_n o3/2$. Cette transformation évite la forme indéterminée $+\infty-\infty$ et conserve l’égalité pour tout $n\ge1$.

Exercice 3 · Intermédiaire

On définit $u_0=0$ et u_{n+1}=rac12u_n+1. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite.

Correction détaillée

On prouve par récurrence que $0\le u_n\le2$. C’est vrai pour $u_0$ ; si $0\le u_n\le2$, alors $1\le u_{n+1}\le2$. De plus $u_{n+1}-u_n=1-u_n/2\ge0$, donc la suite est croissante. Elle est majorée par $2$, donc converge vers $\ell$. En passant à la limite dans la relation, $\ell=\ell/2+1$, d’où $\ell=2$.

Exercice 4 · Intermédiaire

Définir $f(0)$ pour prolonger par continuité f(x)=rac{e^x-1}{x} sur $\mathbb R^*$, puis justifier le choix.

Correction détaillée

On utilise le développement limité $e^x=1+x+o(x)$ au voisinage de $0$. Alors $e^x-1=x+o(x)$ et, pour $x e0$, $f(x)=1+o(1)$ ; ainsi $\lim_{x o0}f(x)=1$. Il faut donc poser $f(0)=1$. La fonction prolongée est continue en $0$ par définition de la continuité, et elle est continue ailleurs car quotient de fonctions continues avec dénominateur non nul.

Exercice 5 · Avancé

Soit $f(x)=x^3-2$ sur $[1,2]$. Prouver l’existence et l’unicité de sa racine, puis donner un intervalle de longueur au plus $1/4$ qui la contient par dichotomie.

Correction détaillée

$f$ est continue, $f(1)=-1$ et $f(2)=6$ : le théorème des valeurs intermédiaires donne une racine. Comme $f'(x)=3x^2>0$ sur $[1,2]$, elle est strictement croissante, donc la racine est unique. Premier milieu : $m_1=1{,}5$, $f(m_1)=1{,}375>0$, donc la racine est dans $[1,1{,}5]$. Second milieu : $m_2=1{,}25$, $f(m_2)=-0{,}046875<0$, donc elle est dans $[1{,}25,1{,}5]$, dont la longueur vaut $0{,}25$.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle propriété caractérise $\sup A$ lorsque $A$ est non vide et majorée ?

• C’est toujours un élément de $A$. ✓ C’est la plus petite des bornes supérieures. • C’est la moyenne des éléments de $A$. • C’est nécessairement un entier.

Explication : Le supremum est la borne supérieure minimale ; il peut être extérieur à $A$, comme pour un intervalle ouvert.

Question 2

Quelle condition définit la convergence de $u_n$ vers $\ell$ ?

• \existsarepsilon>0\,orall N... ✓ orallarepsilon>0\,\exists N\,orall n\ge N: |u_n-\ell|<arepsilon • $u_n=\ell$ pour tout $n$ • $|u_n-\ell|$ est constant

Explication : La convergence autorise une égalité approchée à partir d’un rang dépendant de toute tolérance positive.

Question 3

Quelle suite converge vers $0$ ?

• $(-1)^n$ • $n$ ✓ $1/n$ pour $n\ge1$ • $n/(n+1)$

Explication : Pour $1/n$, étant donné un epsilon positif, on choisit un rang supérieur à 1/arepsilon ; les autres suites ont une autre limite ou ne convergent pas.

Question 4

Que faut-il faire devant la forme $0/0$ d’une limite ?

• Conclure que la limite vaut zéro. • Ignorer le dénominateur. ✓ Transformer l’expression par factorisation, rationalisation ou équivalent. • Remplacer automatiquement par l’infini.

Explication : $0/0$ est indéterminée : une transformation justifiée est nécessaire pour révéler le comportement réel.

Question 5

Quel théorème garantit une solution de $f(x)=0$ entre $a$ et $b$ ?

✓ Le théorème des valeurs intermédiaires, si $f$ est continue et change de signe. • Le théorème de Pythagore. • Le théorème de Rolle sans hypothèse. • La définition de supremum seule.

Explication : La continuité sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)\le0$ assurent l’existence d’un zéro dans l’intervalle.

Question 6

Pourquoi $(-1)^n$ ne converge-t-elle pas ?

• Elle est non définie. ✓ Elle alterne entre $-1$ et $1$, donc ses sous-suites ont des limites différentes. • Elle est strictement croissante. • Elle tend vers $0$.

Explication : Les termes pairs valent $1$ et les termes impairs $-1$ ; une suite convergente ne peut avoir deux limites de sous-suites.

Question 7

Dans une preuve epsilon, que dépend de arepsilon ?

• La limite, toujours. ✓ Le rang $N$ choisi. • Le domaine de la fonction. • La définition des réels.

Explication : Pour chaque tolérance, on peut choisir un rang suffisamment grand ; le rang peut varier avec epsilon.

Question 8

La continuité en $a$ équivaut à quelle égalité ?

• $f(a)=0$ ✓ $\lim_{x o a}f(x)=f(a)$ • $f'(a)=1$ • $\lim_{x o a}f(x)=a$

Explication : La continuité exige que la limite locale existe et coïncide avec la valeur effectivement attribuée au point.

Glossaire

• Borne supérieure — Nombre qui majore un ensemble ; le supremum est la plus petite de ces majorations.
• Valeur absolue — Distance d’un réel à zéro, notée $|x|$, et outil central pour mesurer une erreur.
• Suite convergente — Suite dont les termes deviennent arbitrairement proches d’une unique limite à partir d’un certain rang.
• Limite — Valeur vers laquelle tend une suite ou une fonction selon une précision contrôlée.
• Équivalent — Relation $f(x)\sim g(x)$ lorsque $f(x)/g(x)\to1$ dans une limite donnée.
• Continuité — Propriété selon laquelle la limite de $f(x)$ en un point égale la valeur de $f$ en ce point.
• Théorème des valeurs intermédiaires — Une fonction continue sur un intervalle prend toute valeur comprise entre ses valeurs aux extrémités.
• Dichotomie — Méthode itérative qui enferme une solution dans des intervalles deux fois plus courts à chaque étape.

TP · Mini-cas : certifier une approximation de racine

Une équipe doit estimer la solution positive de $x^3-2=0$ pour calibrer un seuil numérique. Elle doit produire une approximation et une preuve d’encadrement, sans confondre précision affichée et précision démontrée.

Objectifs

• Identifier un intervalle initial où le signe change.

• Justifier existence et unicité à l’aide de continuité et monotonie.

• Implémenter ou dérouler cinq étapes de dichotomie avec une tolérance fixée.

• Contrôler l’erreur par la longueur de l’intervalle et le résidu $|f(x)|$ .

Étapes

1. Définir $f(x)=x^3-2$ et calculer $f(1)$ et $f(2)$.

2. Prouver la continuité sur $[1,2]$ et la stricte croissance par la dérivée.

3. À chaque itération, calculer le milieu, son signe, puis conserver le sous-intervalle adéquat.

4. Arrêter lorsque la longueur est au plus $10^{-3}$ et prendre le milieu comme approximation.

5. Comparer l’approximation à $2^{1/3}$ via le résidu et rédiger les hypothèses, calculs et limites.

Livrables attendus

• Une fiche de calcul avec tableau des intervalles, milieux, signes et longueurs.

• Un court texte de preuve (existence, unicité, critère d’arrêt).

• Un script facultatif de dix lignes ou un calcul manuel reproductible, accompagné d’un contrôle du résidu.

Critères d’évaluation

• Exactitude des signes et des intervalles : 30 %.

• Justification des théorèmes et de leurs hypothèses : 25 %.

• Respect de la tolérance et vérification numérique : 25 %.

• Clarté, reproductibilité et distinction erreur/résidu : 20 %.

Piste de résolution

On part de $[1,2]$, car $f(1)<0<f(2)$, et $f'(x)>0$ pour $x>0$. La racine est donc unique. La dichotomie conserve le changement de signe ; après $k$ étapes, la longueur vaut $1/2^k$. Pour une longueur au plus $10^{-3}$, $k=10$ suffit car $1/1024<10^{-3}$. Le milieu final fournit une erreur absolue au plus $5 imes10^{-4}$ par rapport à la racine.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Préparation originale — sujet normal d’Analyse 1

Sujet d’entraînement original, non officiel : il ne s’agit jamais d’une épreuve d’une année passée ni d’un document institutionnel. Toute rédaction doit justifier les théorèmes utilisés.

Exercice 1

Soit $A=\{1-1/n:n\ge1\}$. Déterminer $\inf A$, $\sup A$, et préciser si ces bornes sont atteintes.

Correction : Les termes valent $0,1/2,2/3,\ldots$ et sont croissants. Ils sont majorés par $1$, donc $\sup A=1$. Aucun terme ne vaut $1$, donc le supremum n’est pas atteint. Le premier terme vaut $0$, qui est l’infimum et le minimum.

Exercice 2

Montrer que $u_n=(n+(-1)^n)/(n+1)$ converge et calculer sa limite.

Correction : On écrit $u_n= n/(n+1)+(-1)^n/(n+1)$. Le premier terme tend vers $1$. Pour le second, sa valeur absolue est $1/(n+1)\to0$, donc il tend vers $0$ par encadrement. La somme tend vers $1$. L’oscillation du numérateur est absorbée par le dénominateur croissant.

Exercice 3

Étudier l’existence d’une solution de $\ln x+x=1$ sur $[1/2,1]$, puis discuter son unicité.

Correction : La fonction $g(x)=\ln x+x-1$ est continue sur $[1/2,1]$. On a $g(1/2)=1/2-1-\ln2<0$ et $g(1)=0$, donc $x=1$ est une solution et le théorème garantit au moins une solution. De plus $g'(x)=1/x+1>0$ sur l’intervalle : $g$ est strictement croissante, donc cette solution est unique.

Préparation originale — sujet de rattrapage d’Analyse 1

Sujet d’entraînement original, non officiel : il ne s’agit jamais d’une épreuve d’une année passée ni d’un document institutionnel. Les résultats numériques doivent être accompagnés d’arguments exacts.

Exercice 1

Prouver par la définition que $u_n=4-3/n$ converge vers $4$.

Correction : Soit $\varepsilon>0$. Choisir $N>3/\varepsilon$. Si $n\ge N$, alors $|u_n-4|=3/n\le3/N<\varepsilon$. La condition de convergence est satisfaite, donc $u_n\to4$.

Exercice 2

Calculer $\lim_{x\to0}(\sqrt{1+x}-1)/x$.

Correction : Pour $x\ne0$, on rationalise : $\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$. Quand $x\to0$, le dénominateur tend vers $2$ ; la limite vaut donc $1/2$. Le domaine impose $x\ge-1$, ce qui contient bien un voisinage droit de zéro.

Exercice 3

Soit $h(x)=x^4-4x+1$. Montrer que $h$ possède au moins deux zéros sur $[0,2]$.

Correction : $h$ est un polynôme, donc continue. On calcule $h(0)=1>0$, $h(1)=-2<0$ et $h(2)=9>0$. Le changement de signe sur $[0,1]$ donne un zéro, et celui sur $[1,2]$ en donne un autre. Les intervalles sont disjoints, donc les zéros sont distincts. Aucune unicité n’est affirmée sans étude supplémentaire.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Réels, intervalles, valeur absolue et bornes

Reprendre les définitions, résoudre dix inégalités, puis rédiger une preuve de supremum et corriger les confusions minimum/supremum. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Suites et convergence

Classer quinze suites par méthode (calcul, encadrement, monotonie), faire les exercices 2 et 3, puis écrire deux preuves epsilon. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Limites de fonctions et continuité

Construire une fiche des limites usuelles, traiter quatre formes indéterminées et appliquer deux fois le théorème des valeurs intermédiaires. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Synthèse et préparation originale

Réaliser le mini-cas, passer un sujet en temps limité, vérifier chaque hypothèse et refaire les questions erronées sans regarder le corrigé. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.