Dossier complet — Algèbre 2

L1 · S2 · Mathématiques fondamentales

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Appliquer la division euclidienne, l’algorithme d’Euclide et l’identité de Bézout à des calculs exacts.

• Manipuler les congruences et décider de l’inversibilité dans un anneau de classes modulo $n$.

• Vérifier les axiomes d’un groupe ou d’un sous-groupe et calculer des ordres d’éléments.

• Factoriser des polynômes par recherche de racines, division euclidienne et identités algébriques.

• Modéliser et analyser les symétries d’un polygone avec une présentation du groupe diédral.

Prérequis

• Calcul algébrique élémentaire : distributivité, puissances, fractions et identités remarquables.

• Notions de base sur les ensembles, applications, relations et preuves par implication.

• Manipulation des entiers relatifs, divisibilité et raisonnement par récurrence simple.

Cours

1. Arithmétique des entiers

Définitions et méthode

Pour des entiers $a$ et $b\ne0$, la division euclidienne écrit $a=bq+r$ avec $0\le r<|b|$. Le PGCD, noté $\operatorname{pgcd}(a,b)$, est le plus grand diviseur commun positif. L’algorithme d’Euclide remplace $(a,b)$ par $(b,a\bmod b)$ jusqu’à obtenir un reste nul; le dernier reste non nul est le PGCD. Une congruence $a\equiv b\pmod n$ signifie que $n$ divise $a-b$ et autorise le calcul sur les restes.

Exemple guidé

Calculons $\operatorname{pgcd}(252,105)$ : $252=2\times105+42$, puis $105=2\times42+21$, puis $42=2\times21+0$. Donc le PGCD vaut $21$. En remontant, $21=105-2(252-2\times105)=5\times105-2\times252$, identité de Bézout. Ainsi $252$ est inversible modulo $105$ seulement si le PGCD vaut $1$; ici, il ne l’est pas.

Erreurs fréquentes : confondre reste et quotient, oublier le reste positif, ou diviser une congruence par un nombre non inversible. Point de contrôle : calculer $\operatorname{pgcd}(391,299)$ et vérifier l’identité de Bézout.

Points-clés

• La division euclidienne produit un quotient et un reste borné.
• Euclide calcule efficacement le PGCD et mène à Bézout.
• Les congruences se manipulent modulo un entier en respectant les inversibilités.

2. Groupes et symétries

Structure et interprétation

Un groupe $(G,\ast)$ est un ensemble muni d’une loi interne associative, possédant un neutre $e$, et tel que chaque $a$ admette un inverse $a^{-1}$. Pour reconnaître un sous-groupe $H$ de $G$, il suffit de vérifier que $H$ est non vide et que $xy^{-1}\in H$ pour tous $x,y\in H$.

Exemple guidé

Dans $\mathbb Z/6\mathbb Z$ muni de l’addition, $H=\{\bar0,\bar2,\bar4\}$ est un sous-groupe : pour $\bar x,\bar y\in H$, $\bar x-\bar y$ est encore pair modulo $6$, donc appartient à $H$. Il contient $\bar0$, et $\bar2$ a ordre $3$ car $3\bar2=\bar0$ tandis que $\bar2\ne\bar0$ et $2\bar2\ne\bar0$.

Les rotations et réflexions d’un polygone donnent le groupe diédral : la composition décrit les symétries et peut être non commutative. Erreurs fréquentes : vérifier seulement la stabilité sans les inverses, ou confondre composition et addition. Point de contrôle : décider si $\{\bar0,\bar3\}$ est un sous-groupe additif de $\mathbb Z/6\mathbb Z$.

Points-clés

• Un groupe impose associativité, neutre et inverses.
• Le critère $xy^{-1}$ reconnaît rapidement un sous-groupe.
• Les symétries se composent et illustrent les groupes non commutatifs.

3. Polynômes

Outils de calcul

Dans $K[X]$, où $K$ est un corps, la division euclidienne donne, pour $A\ne0$, $P=AQ+R$ avec $\deg R<\deg A$. En prenant $A=X-a$, le reste est $P(a)$ : c’est le théorème du reste. Ainsi $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X-a)$ divise $P$. La multiplicité d’une racine mesure le nombre de facteurs identiques; elle peut aussi se lire avec les dérivées.

Exemple guidé

Factorisons $P(X)=X^3-4X^2+X+6$. On teste les diviseurs de $6$ : $P(2)=8-16+2+6=0$, donc $X-2$ divise $P$. La division synthétique donne $P=(X-2)(X^2-2X-3)$. Puis $X^2-2X-3=(X-3)(X+1)$, donc $P=(X-2)(X-3)(X+1)$.

Sur $\mathbb R$, cette factorisation est complète; sur $\mathbb Q$, les mêmes coefficients conviennent. Erreurs fréquentes : tester seulement une valeur approchée, oublier le signe dans $X-a$, ou annoncer une factorisation sans vérifier le produit. Point de contrôle : factoriser $X^3-3X^2-4X+12$ et multiplier les facteurs obtenus.

Points-clés

• Le reste de la division par $X-a$ vaut $P(a)$.
• Une racine fournit un facteur linéaire et réduit le degré.
• La factorisation dépend du corps de coefficients considéré.

4. Anneaux, idéaux et calcul modulaire

Structures et limites

Un anneau commutatif $(A,+,\times)$ possède une addition formant un groupe abélien, une multiplication associative et la distributivité. Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible. Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, la classe $\bar a$ est inversible exactement lorsque $\operatorname{pgcd}(a,n)=1$. Un idéal est stable par addition et par multiplication par tout élément de l’anneau; dans $\mathbb Z$, les idéaux sont $d\mathbb Z$.

Exemple guidé

Cherchons l’inverse de $7$ modulo $26$. Euclide donne $26=3\times7+5$, $7=1\times5+2$, $5=2\times2+1$. Remontons : $1=5-2(7-5)=3\times5-2\times7=3(26-3\times7)-2\times7=3\times26-11\times7$. Donc $-11\times7\equiv1\pmod{26}$, soit $7^{-1}\equiv15\pmod{26}$.

Erreurs fréquentes : croire que toute classe non nulle est inversible, ou annuler un facteur sans vérifier l’absence de diviseur de zéro. Point de contrôle : déterminer si $9$ est inversible modulo $15$ et justifier par un PGCD.

Points-clés

• Un corps fournit des inverses pour tous les éléments non nuls.
• Dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, le PGCD décide de l’inversibilité.
• Les idéaux décrivent des congruences et des quotients structurés.

5. Projet de synthèse : symétries d’un polygone

Modèle diédral

Les symétries d’un polygone régulier à $n$ côtés forment le groupe diédral $D_n$. Il contient $n$ rotations $r^k$ et $n$ réflexions $sr^k$, soit $2n$ éléments. Les relations $r^n=e$, $s^2=e$ et $srs=r^{-1}$ suffisent à réécrire toute composition. Cette présentation évite de dessiner chaque cas, mais il faut fixer une convention d’orientation et l’ordre de composition.

Exemple guidé

Pour un carré, $D_4$ comporte $8$ symétries. Calculons $sr^2s$. Par $srs=r^{-1}$, on obtient $sr^2s=r^{-2}=r^2$ car $r^4=e$. La rotation d’un demi-tour commute donc avec chaque réflexion. En revanche, $sr=r^{-1}s=r^3s$, différent de $rs$ : le groupe n’est pas abélien.

On peut représenter les éléments par des permutations des sommets et vérifier les relations dans un tableur ou un court programme. Erreurs fréquentes : compter seulement les rotations, composer dans le mauvais ordre, ou confondre $D_n$ avec un groupe d’ordre $n$. Point de contrôle : écrire $sr^3$ sous la forme $r^ks$ et compter les éléments de $D_5$.

Points-clés

• $D_n$ contient $2n$ symétries : rotations et réflexions.
• Les relations $r^n=e$, $s^2=e$, $srs=r^{-1}$ structurent les calculs.
• La convention de composition doit être annoncée et conservée.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Calculer $\operatorname{pgcd}(252,105)$ par l’algorithme d’Euclide, puis trouver des entiers $u,v$ tels que $252u+105v=\operatorname{pgcd}(252,105)$.

Correction détaillée

On écrit $252=2\times105+42$, puis $105=2\times42+21$, enfin $42=2\times21+0$. Le PGCD est donc $21$. En remontant, $21=105-2\times42=105-2(252-2\times105)=5\times105-2\times252$. Ainsi $u=-2$ et $v=5$.

Exercice 2 · Fondamental

Factoriser dans $\mathbb R[X]$ le polynôme $P(X)=X^3-3X^2-4X+12$.

Correction détaillée

On teste les diviseurs entiers de $12$. $P(2)=8-12-8+12=0$, donc $X-2$ est un facteur. La division donne $P=(X-2)(X^2-X-6)$. Or $X^2-X-6=(X-3)(X+2)$. Donc $P=(X-2)(X-3)(X+2)$.

Exercice 3 · Intermédiaire

Dans $(\mathbb Z/12\mathbb Z,+)$, déterminer si $H=\{\bar0,\bar4,\bar8\}$ est un sous-groupe et donner l’ordre de chacun de ses éléments.

Correction détaillée

L’ensemble est non vide. Pour deux éléments de $H$, leur différence est un multiple de $4$, donc reste dans $H$; le critère $x-y\in H$ prouve que c’est un sous-groupe. $\bar0$ a ordre $1$. Pour $\bar4$, $2\bar4=\bar8$ et $3\bar4=\bar0$, donc ordre $3$. De même $\bar8$ a ordre $3$ puisque $3\bar8=\bar0$ et aucun multiple positif plus petit ne convient.

Exercice 4 · Intermédiaire

Résoudre la congruence $7x\equiv5\pmod{26}$. Justifie la démarche étape par étape, puis vérifie le résultat par une propriété ou une substitution adaptée.

Correction détaillée

Comme $\operatorname{pgcd}(7,26)=1$, $7$ est inversible. L’algorithme d’Euclide fournit $1=3\times26-11\times7$, donc $7^{-1}\equiv-11\equiv15\pmod{26}$. En multipliant la congruence par $15$, on obtient $x\equiv15\times5=75\equiv23\pmod{26}$. Vérification : $7\times23=161=6\times26+5$.

Exercice 5 · Avancé

Dans $D_6=\langle r,s\mid r^6=e, s^2=e, srs=r^{-1}\rangle$, simplifier $(sr^2)(sr^5)$ puis déterminer son ordre.

Correction détaillée

On utilise $sr^k s=r^{-k}$. Ainsi $(sr^2)(sr^5)=s r^2 s r^5=r^{-2}r^5=r^3$. Comme $r$ a ordre $6$, $r^3 e e$ et $(r^3)^2=r^6=e$; l’élément obtenu a donc ordre $2$.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quel est le reste de la division euclidienne de $-7$ par $3$ ?

• $-1$ • $0$ • $1$ ✓ $2$

Explication : La division euclidienne impose un reste dans $\{0,1,2\}$. On écrit $-7=3(-3)+2$.

Question 2

Quelle condition caractérise l’inversibilité de $\bar a$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ?

• $a<n$ • $a$ est pair ✓ $\operatorname{pgcd}(a,n)=1$ • $a$ est premier

Explication : Bézout donne une combinaison égale à $1$ exactement lorsque le PGCD vaut $1$, ce qui fournit l’inverse modulo $n$.

Question 3

Quelle propriété manque à la définition générale d’un groupe par rapport à un groupe abélien ?

• Un neutre • Des inverses ✓ La commutativité • L’associativité

Explication : Un groupe peut être non commutatif; un groupe abélien ajoute la condition $xy=yx$.

Question 4

Si $P(a)=0$, quelle affirmation est nécessairement vraie ?

• $P$ est constant ✓ $(X-a)$ divise $P$ • $a$ est le degré de $P$ • $P$ est irréductible

Explication : Le théorème du reste affirme que le reste de la division par $X-a$ vaut $P(a)$.

Question 5

Combien d’éléments possède le groupe diédral $D_5$ des symétries d’un pentagone régulier ?

• 5 • 8 ✓ 10 • 25

Explication : Il y a 5 rotations et 5 réflexions, donc $2\times5=10$ éléments.

Question 6

Dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$, quel élément est inversible ?

• $\bar2$ • $\bar3$ • $\bar4$ ✓ $\bar5$

Explication : $\operatorname{pgcd}(5,12)=1$, tandis que les autres PGCD valent respectivement $2$, $3$ et $4$.

Question 7

Quelle relation est correcte dans un groupe diédral présenté par $srs=r^{-1}$ ?

• $sr=rs$ toujours ✓ $sr=r^{-1}s$ • $s=r^{-1}$ • $r=s^2$

Explication : En multipliant $srs=r^{-1}$ à droite par $s$, on obtient $sr=r^{-1}s$ puisque $s^2=e$.

Question 8

Quel est le degré du reste dans la division de $P$ par un polynôme non nul $A$ de degré $3$ ?

✓ Strictement inférieur à $3$ • Égal à $3$ • Toujours nul • Supérieur à celui de $P$

Explication : La division euclidienne impose $\deg R<\deg A$, donc ici $\deg R<3$ (ou $R=0$).

Glossaire

• Division euclidienne — Écriture unique $a=bq+r$ avec $b e0$ et $0\le r<|b|$.
• PGCD — Plus grand diviseur commun positif de deux entiers; il se calcule notamment par Euclide.
• Congruence — Relation $a\equiv b\pmod n$ signifiant que $n$ divise $a-b$.
• Groupe — Ensemble muni d’une loi associative, d’un élément neutre et d’un inverse pour chaque élément.
• Sous-groupe — Sous-ensemble qui porte la loi du groupe et reste lui-même un groupe; le critère $xy^{-1}$ est pratique.
• Racine d’un polynôme — Élément $a$ tel que $P(a)=0$; il correspond au facteur $X-a$.
• Idéal — Sous-ensemble additif stable par multiplication par tout élément de l’anneau.
• Groupe diédral — Groupe des symétries d’un polygone régulier, composé de rotations et de réflexions.

TP · Mini-cas : cartographier les symétries d’un polygone

Une équipe doit documenter les symétries d’un polygone régulier pour vérifier un motif graphique répétitif. Elle choisit un hexagone, code les sommets par 0 à 5 et représente chaque rotation ou réflexion par la permutation induite.

Objectifs

• Construire explicitement les 12 éléments de $D_6$.

• Vérifier les relations $r^6=e$, $s^2=e$ et $srs=r^{-1}$.

• Détecter par un calcul de composition la non-commutativité.

• Relier la représentation par permutations à la présentation abstraite du groupe.

Étapes

1. Fixer une convention : $r(i)=i+1\pmod6$ et $s(i)=-i\pmod6$.

2. Écrire les permutations de $r^k$ et $sr^k$ pour $0\le k<6$.

3. Implémenter une composition de permutations et tester les trois relations.

4. Calculer $(sr^2)(sr^5)$ et comparer avec l’ordre prédit par la présentation.

5. Rédiger une conclusion distinguant éléments, loi, ordre et symétrie géométrique.

Livrables attendus

• Un tableau des 12 permutations avec leur type et leur ordre.

• Un court script ou tableau de calcul montrant les trois relations et une composition non commutative.

• Une note d’une page interprétant les résultats et signalant la convention utilisée.

Critères d’évaluation

• Exactitude des permutations et du comptage : 30 %.

• Vérification reproductible des relations : 25 %.

• Justesse des calculs d’ordres et compositions : 25 %.

• Clarté, convention explicite et distinction modèle abstrait/géométrique : 20 %.

Piste de résolution

Avec $r(i)=i+1$ et $s(i)=-i$ modulo 6, on obtient 6 rotations et 6 réflexions distinctes. La composition vérifie $r^6=s^2=e$ et $srs=r^{-1}$. Le produit $(sr^2)(sr^5)$ se simplifie en $r^3$, d’ordre 2. Une table de composition montre par exemple que $sr e rs$, donc $D_6$ n’est pas abélien.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Préparation originale — Algèbre 2 — sujet normal

Sujet d’entraînement original, non officiel : il ne s’agit jamais d’une épreuve d’années passées ni d’un document institutionnel. Justifier chaque étape et annoncer les structures utilisées.

Exercice 1

Calculer $\operatorname{pgcd}(391,299)$ et déterminer l’inverse de $17$ modulo $43$.

Correction : Euclide : $391=1\times299+92$, $299=3\times92+23$, $92=4\times23$. Le PGCD vaut $23$. Pour l’inverse, $43=2\times17+9$, $17=1\times9+8$, $9=1\times8+1$, donc $1=2\times43-5\times17$ et $17^{-1}\equiv-5\equiv38\pmod{43}$.

Exercice 2

Dans $\mathbb Z/15\mathbb Z$, déterminer les éléments inversibles et calculer l’inverse de $4$.

Correction : Les classes inversibles sont celles premières avec 15 : $\bar1,\bar2,\bar4,\bar7,\bar8,\bar11,\bar13,\bar14$. Comme $4\times4=16\equiv1\pmod{15}$, l’inverse de $\bar4$ est $\bar4$.

Exercice 3

Factoriser $P(X)=X^4-5X^2+4$ dans $\mathbb R[X]$, puis donner ses racines avec multiplicité.

Correction : Poser $Y=X^2$. Alors $Y^2-5Y+4=(Y-1)(Y-4)$. Donc $P=(X^2-1)(X^2-4)=(X-1)(X+1)(X-2)(X+2)$. Les quatre racines sont $-2,-1,1,2$, chacune de multiplicité 1.

Préparation originale — Algèbre 2 — sujet de rattrapage

Sujet d’entraînement original, non officiel : il ne s’agit jamais d’une épreuve d’années passées ni d’un document institutionnel. Les méthodes doivent être justifiées, même lorsqu’un calcul est court.

Exercice 1

Résoudre $9x\equiv6\pmod{15}$ et décrire toutes les classes solutions.

Correction : Le PGCD de 9 et 15 vaut 3, qui divise 6 : des solutions existent. On divise par 3 après passage aux représentants : $3x\equiv2\pmod5$. L’inverse de 3 modulo 5 est 2, donc $x\equiv4\pmod5$. Modulo 15, cela donne $x\equiv4,9,14\pmod{15}$.

Exercice 2

Montrer que $H=\{\bar0,\bar3,\bar6,\bar9\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb Z/12\mathbb Z,+)$ et déterminer son ordre.

Correction : $H$ est non vide. La différence de deux multiples de 3 est encore un multiple de 3, donc appartient à $H$ modulo 12; le critère de sous-groupe s’applique. Il contient quatre éléments distincts, donc son ordre est 4. Chaque élément est bien fermé pour l’addition et possède son opposé dans $H$.

Exercice 3

Dans $D_5$, simplifier $r^2(sr^3)r^{-1}$ et préciser s’il s’agit d’une rotation ou d’une réflexion.

Correction : On utilise $r^as=s r^{-a}$, conséquence de $sr^a=r^{-a}s$. Ainsi $r^2 s r^3 r^{-1}=r^2s r^2=r^2(r^{-2}s)=s$. Le résultat est la réflexion $s$, donc de type réflexion et d’ordre 2.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Division euclidienne, PGCD, Bézout et congruences.

Refaire les calculs du chapitre 1, produire cinq divisions euclidiennes et résoudre trois congruences en vérifiant chaque résultat. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Groupes, sous-groupes et ordres.

Construire une fiche des axiomes, classer des exemples additifs et multiplicatifs, puis résoudre les exercices 3 et le quiz associé. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Polynômes, racines, division et anneaux.

Factoriser six polynômes de degrés variés, calculer des inverses modulo différents entiers et expliquer les cas non inversibles. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Groupes diédrals, synthèse et préparation.

Réaliser le TP sur $D_6$, composer un sujet de préparation en temps limité et corriger les erreurs avec le glossaire. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.