Dossier complet — Analyse numérique

L2 · S4 · Mathématiques appliquées

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Quantifier erreurs absolue, relative, d'arrondi et de troncature dans un calcul numérique.

• Analyser le conditionnement d'un problème et distinguer sensibilité des données et stabilité d'une méthode.

• Résoudre une équation non linéaire par dichotomie ou Newton en justifiant convergence et arrêt.

• Construire une interpolation et une quadrature, puis relier leur ordre à l'erreur observée.

• Résoudre et valider un calcul numérique reproductible en contrôlant résidus, unités et limites.

Prérequis

• Calcul différentiel à une variable : limites, dérivées, continuité et développements de base.

• Algèbre linéaire élémentaire : systèmes, matrices, normes et opérations sur les vecteurs.

• Programmation introductive : boucles, fonctions, tableaux et représentation des nombres flottants.

Cours

1. Erreurs et conditionnement

Idée directrice

En analyse numérique, un résultat est une approximation accompagnée d'une information sur sa qualité. L'erreur absolue est $|x-\widehat{x}|$ et l'erreur relative, lorsque $x\ne0$, est $|x-\widehat{x}|/|x|$. Il faut distinguer l'erreur de donnée (mesure ou arrondi initial), l'erreur d'arrondi (calcul en précision finie) et l'erreur de troncature (remplacement d'un procédé exact par une formule finie). Une petite perturbation peut être amplifiée par un problème mal conditionné; pour une matrice inversible, le nombre $\kappa(A)=\|A\|\,\|A^{-1}\|$ donne un indicateur de sensibilité.

Méthode et limites

On borne séparément les sources d'erreur, puis on vérifie unités et ordre de grandeur. Des chiffres affichés ne constituent pas une preuve de précision : annuler deux nombres proches peut perdre des chiffres significatifs. Une norme doit être précisée.

Exemple guidé

Pour $x=2/3$ et $\widehat{x}=0,67$, l'erreur absolue vaut $|0,666666\ldots-0,67|\approx0,003333$. L'erreur relative vaut environ $0,003333/(2/3)=0,005$, soit $0,5\%$. La valeur affichée est donc à moins de $0,34\times10^{-2}$ en absolu.

Point de contrôle. Sais-tu expliquer pourquoi une erreur relative est moins pertinente lorsque la valeur exacte est proche de zéro ?

Points-clés

• Distinguer arrondi, troncature et perturbation des données.
• Calculer une erreur absolue ou relative avec une référence explicite.
• Relier conditionnement et amplification des incertitudes.

2. Résolution d’équations

Racines et encadrement

Résoudre $f(x)=0$ consiste à trouver une racine, souvent sans expression fermée. Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a)f(b)<0$, le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une racine dans l'intervalle. La dichotomie conserve un tel encadrement : à chaque étape, elle divise la longueur par deux; après $n$ étapes, celle-ci vaut $(b-a)/2^n$. Elle est robuste mais d'ordre linéaire.

La méthode de Newton utilise $x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)$. Elle est très rapide près d'une racine simple, mais peut diverger si le point initial est mauvais, si $f'$ est petit ou si la fonction n'est pas régulière. Un critère d'arrêt doit combiner résidu $|f(x_k)|$ et déplacement $|x_{k+1}-x_k|$.

Exemple guidé

Pour $f(x)=x^2-2$ sur $[1,2]$, le signe change. La dichotomie donne $m=1,5$, puis $1,25$, puis $1,375$; l'intervalle est déjà réduit à $[1,375,1,5]$. Avec Newton et $x_0=1,5$, $x_1=1,4166667$, puis $x_2\approx1,4142157$, proche de $\sqrt2$.

Point de contrôle. Quel invariant d'encadrement la dichotomie conserve-t-elle à chaque itération ?

Points-clés

• Justifier une racine par continuité et changement de signe.
• Comparer robustesse de la dichotomie et rapidité de Newton.
• Choisir un critère d'arrêt fondé sur résidu et déplacement.

3. Approximation et intégration

Construire une fonction approchée

Pour des nœuds distincts $(x_i,y_i)$, l'interpolation polynomiale cherche l'unique polynôme $P$ de degré au plus $n$ tel que $P(x_i)=y_i$. La forme de Lagrange est $P(x)=\sum_i y_iL_i(x)$, avec $L_i(x_j)=\delta_{ij}$. Elle est transparente mais devient coûteuse et numériquement délicate lorsque le nombre de nœuds augmente. La formule de l'erreur, si $f$ est suffisamment dérivable, est $f(x)-P(x)=f^{(n+1)}(\xi)\prod_i(x-x_i)/(n+1)!$.

Limites

Des nœuds équidistants nombreux peuvent provoquer le phénomène de Runge : l'erreur augmente près des bords. On préfère parfois des nœuds de Chebyshev ou une approximation par moindres carrés lorsque les données sont bruitées; l'interpolation exacte ne doit pas être imposée au bruit.

Exemple guidé

Les points $(0,1)$ et $(2,5)$ donnent $P(x)=1L_0+5L_1$, avec $L_0=(2-x)/2$ et $L_1=x/2$. Donc $P(x)=(2-x)/2+5x/2=1+2x$. À $x=1$, $P(1)=3$.

Point de contrôle. Vérifie directement que $P(0)=1$ et $P(2)=5$ avant d'utiliser une valeur interpolée.

Points-clés

• Construire un interpolant unique sur des nœuds distincts.
• Évaluer une erreur d'interpolation avec un reste théorique.
• Repérer Runge et distinguer interpolation de régression.

4. Systèmes linéaires et stabilité numérique

Du modèle au calcul

Un système linéaire s'écrit $Ax=b$. L'élimination de Gauss transforme $A$ par opérations élémentaires et produit une forme triangulaire, puis une remontée donne les inconnues. En calcul flottant, on choisit un pivot de module maximal dans la colonne (pivot partiel) afin de limiter l'amplification des erreurs. Une matrice peut être inversible tout en donnant un problème très sensible : le conditionnement mesure alors le rapport entre perturbation de la donnée et perturbation possible de la solution.

Erreurs fréquentes

Inverser explicitement $A$ pour calculer $A^{-1}b$ est généralement moins stable et plus coûteux que résoudre directement. Il ne faut pas confondre résidu $r=b-A\widehat{x}$ et erreur $x-\widehat{x}$ : un petit résidu n'entraîne une bonne solution que sous hypothèses de conditionnement favorables.

Exemple guidé

Pour $\begin{cases}2x+y=5\\x-y=1\end{cases}$, on remplace la seconde ligne par $2L_2-L_1$ : $-3y=-3$, donc $y=1$. La première équation donne $2x+1=5$, donc $x=2$. Le résidu est exactement nul en arithmétique exacte.

Point de contrôle. Pourquoi un pivot nul impose-t-il un échange de lignes plutôt qu'une division immédiate ?

Points-clés

• Résoudre $Ax=b$ par élimination et remontée.
• Utiliser un pivot partiel pour limiter les instabilités.
• Distinguer résidu, erreur de solution et conditionnement.

5. Intégration numérique et validation expérimentale

Quadratures et ordre

Une quadrature remplace $\int_a^b f(x)\,dx$ par une somme pondérée de valeurs. Avec un pas $h=(b-a)/n$, la règle des trapèzes composée est $T_n=h[\frac{f(a)+f(b)}2+\sum_{k=1}^{n-1}f(a+kh)]$; pour une fonction deux fois dérivable, son erreur est en $O(h^2)$. La règle de Simpson, basée sur des paraboles et un nombre pair de sous-intervalles, est souvent en $O(h^4)$ si $f$ est suffisamment régulière.

Méthode et pièges

Comparer deux valeurs numériques n'est pas une borne d'erreur : il faut une référence exacte, une estimation théorique ou une étude de convergence. Une fonction oscillante ou présentant une singularité demande un maillage adapté. Toujours conserver les unités de l'intégrale.

Exemple guidé

Pour $f(x)=x^2$ sur $[0,2]$ avec $n=2$, $h=1$ et les valeurs $0,1,4$, $T_2=1[(0+4)/2+1]=3$. L'intégrale exacte vaut $[x^3/3]_0^2=8/3\approx2,6667$; l'erreur absolue est donc $1/3$. Simpson donne $(1/3)[0+4\cdot1+4]=8/3$, exactement ici.

Point de contrôle. Pourquoi Simpson exige-t-elle un nombre pair de sous-intervalles dans sa forme composée standard ?

Points-clés

• Appliquer trapèzes et Simpson avec le bon pas.
• Relier ordre théorique et diminution de l'erreur.
• Valider un calcul par référence, unités et tests de convergence.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Une valeur exacte vaut 12,50 et un calcul fournit 12,47. Calculer l'erreur absolue, l'erreur relative puis l'exprimer en pourcentage.

Correction détaillée

L'erreur absolue est |12,50 - 12,47| = 0,03. Comme la référence est 12,50, l'erreur relative vaut 0,03/12,50 = 0,0024. En pourcentage, 0,0024 × 100 = 0,24 %. Le résultat est donc à 0,03 unité de la référence, soit 0,24 % en relatif.

Exercice 2 · Fondamental

Effectuer deux itérations de dichotomie pour f(x)=x^2-3 sur [1,2]. Donner les nouveaux intervalles et une approximation après ces deux étapes.

Correction détaillée

On a f(1)=-2 et f(2)=1 : il existe une racine dans [1,2]. Étape 1 : m_1=1,5 et f(1,5)=-0,75; le changement de signe est dans [1,5,2]. Étape 2 : m_2=1,75 et f(1,75)=0,0625; le changement de signe est donc dans [1,5,1,75]. L'approximation après deux étapes est m_2=1,75, avec un intervalle de longueur 0,25 contenant sqrt(3).

Exercice 3 · Intermédiaire

Pour f(x)=x^2-5, appliquer deux itérations de Newton à partir de x_0=2 et commenter le résidu obtenu.

Correction détaillée

On a f'(x)=2x et x_{k+1}=x_k-(x_k^2-5)/(2x_k). Donc x_1=2-(4-5)/4=2,25. Puis x_2=2,25-(5,0625-5)/4,5=2,25-0,0625/4,5≈2,236111. Le résidu vaut f(x_2)≈5,0001929-5≈0,0001929. La racine positive est sqrt(5)≈2,236068 : l'approximation est déjà très précise, mais on vérifie encore le résidu et le déplacement avant l'arrêt.

Exercice 4 · Intermédiaire

Calculer la règle des trapèzes composée pour f(x)=1+x sur [0,2] avec n=4, puis comparer à l'intégrale exacte.

Correction détaillée

Le pas vaut h=(2-0)/4=0,5. Les valeurs sont f(0)=1, f(0,5)=1,5, f(1)=2, f(1,5)=2,5 et f(2)=3. Ainsi T_4=0,5[(1+3)/2+1,5+2+2,5]=0,5[2+6]=4. L'intégrale exacte est [x+x^2/2]_0^2=2+2=4. L'erreur est nulle, ce qui s'explique parce que la règle des trapèzes est exacte pour toute fonction affine.

Exercice 5 · Avancé

On veut approximer I=∫_0^1 e^x dx par Simpson avec deux sous-intervalles, puis estimer l'ordre observé en comparant avec la règle des trapèzes composée à n=2. Donner les formules, les valeurs numériques à 4 décimales et une interprétation.

Correction détaillée

Avec h=0,5, Simpson donne S=(h/3)[f(0)+4f(0,5)+f(1)]=(0,5/3)[1+4e^{0,5}+e]≈1,7189. La valeur exacte est e-1≈1,7183, donc l'erreur vaut environ 0,0006. Les trapèzes donnent T=0,5[(1+e)/2+e^{0,5}]≈1,7539, avec une erreur d'environ 0,0356. Simpson est bien plus précis car son erreur théorique est en O(h^4), contre O(h^2) pour les trapèzes lorsque la fonction est quatre fois, respectivement deux fois, dérivable. Les arrondis affichés limitent toutefois l'interprétation de l'ordre; il faudrait répéter avec plusieurs pas et calculer log_2(E_h/E_{h/2}).

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle grandeur compare une erreur à la valeur de référence ?

✓ L'erreur relative • Le résidu seul • Le pas de maillage • Le nombre d'itérations

Explication : L'erreur relative divise l'erreur absolue par la valeur de référence (si elle est non nulle), ce qui permet une comparaison d'échelles.

Question 2

Quelle condition suffit à garantir une racine dans [a,b] pour une fonction continue ?

• f'(a)=0 ✓ f(a)f(b)<0 • a=b • f(a)=f(b)

Explication : Le changement de signe, combiné à la continuité, permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Question 3

Quelle méthode conserve naturellement un encadrement de racine ?

• Newton sans contrôle ✓ Dichotomie • Interpolation de Lagrange • Pivot de Gauss

Explication : La dichotomie ne garde que le sous-intervalle où le changement de signe subsiste; elle est donc robuste.

Question 4

Quel choix améliore la stabilité de l'élimination de Gauss ?

• Supprimer les pivots ✓ Utiliser un pivot partiel • Inverser toujours la matrice • Arrondir à un chiffre

Explication : Le pivot partiel choisit un élément de grand module dans la colonne et limite les divisions par de petits pivots.

Question 5

Quel objet mesure la sensibilité d'un problème aux perturbations ?

✓ Le conditionnement • La primitive • Le degré d'un polynôme • La largeur d'écran

Explication : Le conditionnement quantifie l'amplification possible des perturbations des données dans la solution.

Question 6

Pour deux nœuds distincts, le polynôme interpolateur de degré au plus 1 est-il unique ?

✓ Oui • Non, jamais • Seulement si les valeurs sont nulles • Seulement avec Newton

Explication : Deux contraintes en des abscisses distinctes déterminent un unique polynôme affine, quelle que soit la forme utilisée pour le calculer.

Question 7

Quel est l'ordre usuel de la règle des trapèzes composée pour une fonction régulière ?

• O(h) ✓ O(h^2) • O(h^3) • O(1/h^2)

Explication : L'erreur globale de la règle des trapèzes composée est quadratique en le pas h sous des hypothèses de régularité.

Question 8

Pourquoi un petit résidu ne suffit-il pas toujours à garantir une petite erreur de solution ?

✓ Parce que le système peut être mal conditionné • Parce que le résidu est toujours négatif • Parce que Newton interdit les matrices • Parce que l'intégrale est exacte

Explication : Si le système est mal conditionné, une faible perturbation du second membre peut produire une variation importante de la solution malgré un résidu faible.

Glossaire

• Erreur absolue — Distance entre une valeur calculée et la valeur de référence, notée |x - x_chapeau|.
• Erreur relative — Erreur absolue rapportée à la valeur de référence non nulle; elle mesure une précision proportionnelle.
• Conditionnement — Sensibilité intrinsèque d'un problème aux perturbations de ses données, à distinguer de la stabilité de l'algorithme.
• Dichotomie — Méthode de recherche d'une racine qui divise un intervalle conservant un changement de signe.
• Résidu — Écart b - A x_chapeau d'une solution approchée de système linéaire; il ne mesure pas directement l'erreur de solution.
• Interpolation — Construction d'une fonction, souvent polynomiale, qui prend exactement les valeurs prescrites en des nœuds.
• Quadrature — Formule numérique qui approxime une intégrale par une somme pondérée de valeurs de la fonction.
• Ordre de convergence — Vitesse asymptotique à laquelle l'erreur décroît quand le pas ou la tolérance tend vers zéro.

TP · Mini-cas : estimer une aire sous une courbe mesurée

Une équipe dispose de valeurs de la puissance instantanée d'un capteur sur l'intervalle [0, 4] secondes, aux instants 0, 1, 2, 3 et 4 : 2,0 ; 2,8 ; 3,1 ; 2,6 ; 2,2 watts. Elle veut estimer l'énergie consommée et documenter l'incertitude de la méthode.

Objectifs

• Mettre en œuvre une quadrature des trapèzes sur des données discrètes.

• Comparer le résultat avec une interpolation simple ou une autre quadrature admissible.

• Calculer une différence entre méthodes et l'exprimer avec les unités joule.

• Rédiger une interprétation prudente des limites du maillage et des mesures.

Étapes

1. Saisir les couples (t, P) dans un tableau et vérifier l'uniformité du pas de 1 seconde.

2. Calculer E_T=h[(P_0+P_4)/2+P_1+P_2+P_3] et expliciter chaque terme.

3. Calculer aussi Simpson sur les quatre sous-intervalles, puis vérifier que le nombre de sous-intervalles est pair.

4. Comparer les deux estimations, conserver au moins quatre chiffres et contrôler l'unité watt-seconde.

5. Tester une discussion de sensibilité : expliquer ce qui changerait avec un pas deux fois plus fin ou un pic non mesuré.

Livrables attendus

• Un script ou tableur reproductible contenant données, formules et résultats.

• Un tableau comparatif trapèzes/Simpson avec unités et différence absolue.

• Une note d'une page qui justifie la méthode et explicite au moins deux limites.

Critères d’évaluation

• Formules correctement transcrites et calculs vérifiables : 30 %.

• Contrôle du pas, des unités et des arrondis : 20 %.

• Comparaison interprétée sans confondre différence de méthodes et borne garantie : 25 %.

• Reproductibilité, clarté et limites méthodologiques : 25 %.

Piste de résolution

Le pas est h=1 s. Les trapèzes donnent E_T=1[(2,0+2,2)/2+2,8+3,1+2,6]=2,1+2,8+3,1+2,6=10,6 W·s, soit 10,6 J. Simpson donne (1/3)[2,0+4(2,8)+2(3,1)+4(2,6)+2,2]=(1/3)(2+11,2+6,2+10,4+2,2)=32/3≈10,6667 J. L'écart est environ 0,0667 J. Ces deux valeurs ne constituent pas à elles seules une borne d'erreur; il faut connaître la régularité du signal ou refaire des mesures plus fines.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — session normale

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale, non officielle et sans lien avec une épreuve d'années passées. Il sert à s'entraîner et ne constitue jamais une véritable annale.

Exercice 1

Pour f(x)=cos(x)-x, montrer qu'il existe une racine dans [0,1], puis effectuer une itération de dichotomie et deux itérations de Newton à partir de x_0=0,5. Donner les valeurs arrondies à 5 décimales.

Correction : f est continue, f(0)=1>0 et f(1)=cos(1)-1<0 : une racine existe. La dichotomie donne m=0,5 et f(0,5)≈0,37758>0, donc le nouvel encadrement est [0,5,1]. Newton utilise f'(x)=-sin(x)−1. Depuis 0,5, x_1=0,5−(cos(0,5)−0,5)/(−sin(0,5)−1)≈0,75522. Puis x_2≈0,73914. Le résidu |cos(x_2)−x_2| est de l'ordre de 10^-5, ce qui confirme la progression mais ne remplace pas une borne d'encadrement.

Exercice 2

Résoudre par pivot partiel le système 2x+y=5, x+3y=6, puis calculer le résidu de la solution obtenue.

Correction : La matrice augmentée est [[2,1,5],[1,3,6]]. Dans la première colonne, le pivot 2 est déjà de module maximal. On élimine : L_2 devient L_2−(1/2)L_1, soit [0,2,3,5]. Ainsi y=2,5 puis 2x+2,5=5 donne x=1,25. Le produit A(x,y) vaut (5,6), donc le résidu b−Ax est (0,0) en arithmétique exacte. En flottant, on vérifierait sa norme et on garderait les valeurs non arrondies pour le calcul du résidu.

Exercice 3

Avec les nœuds (0,1), (1,2), (2,5), construire l'interpolant de Lagrange et utiliser Simpson pour approximer son intégrale sur [0,2].

Correction : Les différences montrent que le polynôme est P(x)=x^2+1 : P(0)=1, P(1)=2 et P(2)=5. Pour Simpson avec h=1, l'approximation vaut (1/3)[P(0)+4P(1)+P(2)]=(1/3)(1+8+5)=14/3≈4,6667. Ici Simpson est exacte car P est un polynôme de degré 2; l'intégrale directe donne [x^3/3+x]_0^2=8/3+2=14/3.

Sujet original de préparation — session de rattrapage

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale, non officielle et sans lien avec une épreuve d'années passées. Il sert à s'entraîner et ne constitue jamais une véritable annale.

Exercice 1

Pour g(x)=x^3−2x−2, établir un encadrement de la racine positive sur [1,2], puis donner deux étapes de dichotomie et une borne sur la longueur finale.

Correction : g(1)=−3 et g(2)=2, donc la continuité garantit une racine dans [1,2]. Le milieu 1,5 donne g(1,5)=3,375−3−2=−1,625, donc l'intervalle devient [1,5,2]. Le milieu suivant 1,75 donne g(1,75)=5,359375−3,5−2=−0,140625, donc l'intervalle devient [1,75,2]. Après deux étapes, sa longueur est (2−1)/4=0,25; le milieu 1,875 est une approximation possible, avec une erreur par rapport à la racine au plus égale à 0,125 si l'on retient le milieu de l'encadrement.

Exercice 2

Appliquer la règle des trapèzes composée à f(x)=1/(1+x) sur [0,2] avec n=2, puis comparer à ln(3).

Correction : h=1, les valeurs sont f(0)=1, f(1)=1/2 et f(2)=1/3. Donc T_2=1[(1+1/3)/2+1/2]=2/3+1/2=7/6≈1,1667. L'intégrale exacte est ln(1+x) évaluée de 0 à 2, soit ln(3)≈1,0986. L'erreur absolue vaut environ 0,0681; la règle surestime ici l'intégrale car la fonction est convexe sur [0,2].

Exercice 3

Les mesures exactes sont y=(1, 2, 4) aux abscisses x=(0,1,2), mais la valeur centrale est remplacée par 2,2. Expliquer pourquoi l'interpolation polynomiale passe nécessairement par cette mesure et proposer un contrôle de cohérence.

Correction : Avec trois nœuds distincts, il existe un unique polynôme de degré au plus 2 qui passe exactement par (0,1), (1,2,2) et (2,4). Il ne peut donc pas signaler seul que 2,2 est bruité : l'interpolation reproduit la donnée. On peut construire P par Lagrange, puis comparer sa forme et ses valeurs à un modèle attendu ou à une régression de degré 1. Une validation consiste à mesurer une erreur sur une quatrième observation non utilisée, ou à répéter l'expérience avec une incertitude connue. L'interpolation exacte n'est pas une preuve de justesse des mesures.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Erreurs, précision et conditionnement

Refaire les définitions, calculer dix erreurs absolues/relatives et rédiger une courte analyse de deux cas de mauvais conditionnement. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Équations non linéaires et systèmes

Programmer dichotomie et Newton, comparer les arrêts, puis résoudre trois systèmes par Gauss avec pivot partiel. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Interpolation et quadratures

Construire deux interpolants, appliquer trapèzes et Simpson sur des données tabulées, et tracer l'erreur en fonction du pas. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Synthèse et entraînement

Réaliser un sujet original en temps limité, vérifier chaque résultat par résidu ou unité, puis corriger les erreurs dans une fiche de méthodes. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.