Dossier complet — Analyse complexe

L3 · S5 · Mathématiques avancées

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Manipuler les nombres complexes en formes cartésienne, polaire et exponentielle, et résoudre des équations simples dans C.

• Vérifier l’holomorphie par les équations de Cauchy–Riemann et calculer des dérivées complexes lorsque les hypothèses sont satisfaites.

• Évaluer des intégrales curvilignes grâce aux théorèmes de Cauchy et à la formule intégrale de Cauchy.

• Classer les singularités, développer une fonction en série de Laurent et calculer des résidus avec une méthode justifiée.

• Appliquer le principe de l’argument et le théorème des résidus en explicitant le contour, les pôles inclus et les limites de chaque outil.

Prérequis

• Calcul différentiel et intégral d’une variable réelle, notamment dérivées, intégrales et séries entières.

• Algèbre linéaire élémentaire : applications linéaires, déterminants et résolution de systèmes simples.

• Notions de topologie de R² : ouverts, chemins, contours, convergence et séries de fonctions à un niveau introductif.

Cours

1. Nombres et fonctions complexes

Dérivabilité complexe

Pour $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, la dérivée complexe impose que le quotient différentiel ait la même limite quelle que soit la direction d’approche. Si $u$ et $v$ sont de classe $C^1$ dans un voisinage, les équations de Cauchy–Riemann $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$ caractérisent alors l’holomorphie. Elles sont nécessaires en général, mais leur seule vérification ponctuelle ne suffit pas sans régularité locale. Une fonction holomorphe est en particulier continue et possède des dérivées de tout ordre.

Exemple guidé. Pour $f(z)=z^2$, on a $u=x^2-y^2$ et $v=2xy$. Donc $u_x=2x=v_y$, $u_y=-2y=-v_x$ : $f$ est holomorphe partout et $f'(z)=2z$. Pour $f(z)=\overline z$, $u=x$, $v=-y$; les égalités donnent $1=-1$, impossible : elle n’est holomorphe en aucun point.

Erreur fréquente : conclure « holomorphe sur un point » sans préciser un voisinage. Point de contrôle : écrire $u,v$ pour $f(z)=z\overline z$ et localiser ses éventuels points de dérivabilité complexe.

Points-clés

• Les équations de Cauchy–Riemann s’interprètent comme une compatibilité entre les variations réelle et imaginaire.
• La régularité $C^1$ dans un voisinage transforme le critère de Cauchy–Riemann en condition suffisante.
• Les fonctions polynomiales en $z$ sont holomorphes, tandis que la conjugaison introduit généralement une dépendance anti-holomorphe.

2. Holomorphie et Cauchy

Intégrales curvilignes

Pour un chemin paramétré $\gamma:[a,b]\to\mathbb C$ de classe $C^1$, on définit $\int_\gamma f(z)\,dz=\int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$. Le sens du parcours compte. Si $f$ possède une primitive dans un domaine, l’intégrale ne dépend que des extrémités; sur un contour fermé elle est nulle. Le théorème de Cauchy étend cette conclusion aux fonctions holomorphes sur un domaine simplement connexe. La formule intégrale de Cauchy donne $f(a)=\frac1{2\pi i}\oint_\gamma f(z)/(z-a)\,dz$ lorsque $a$ est intérieur et que la frontière est parcourue positivement.

Exemple guidé. Sur le cercle $|z|=2$ orienté positivement, calculons $\oint z^2/(z-1)\,dz$. Le point $1$ est intérieur et $f(z)=z^2$ est holomorphe autour du disque. La formule donne $2\pi i$.

Erreur fréquente : utiliser Cauchy quand le numérateur n’est pas holomorphe dans la région ou quand le point est extérieur. Point de contrôle : que vaut l’intégrale si le cercle est parcouru dans le sens horaire ? Justifier le signe.

Points-clés

• Une paramétrisation correcte fixe simultanément le sens, la dérivée et les bornes d’intégration.
• La simple connexité empêche les trous qui pourraient contenir des singularités hors du domaine d’holomorphie.
• La formule intégrale de Cauchy transforme une intégrale de contour en évaluation locale, avec un facteur $2\pi i$.

3. Résidus et intégrales

Définition et méthode

Un nombre complexe s’écrit $z=x+iy$, avec $x,y\in\mathbb R$ et $i^2=-1$. Sa partie réelle et sa partie imaginaire sont $x$ et $y$; son conjugué est $\overline z=x-iy$ et son module vaut $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$. Si $z\ne0$, la forme polaire $z=re^{i\theta}$ encode le module $r=|z|$ et un argument $\theta$ défini modulo $2\pi$. Les produits additionnent les arguments, tandis que les quotients les soustraient.

Exemple guidé. Pour $z=-1+i\sqrt3$, on a $r=2$ et un argument $\theta=2\pi/3$, donc $z=2e^{2i\pi/3}$. Alors $z^3=8e^{2i\pi}=8$. Les racines cubiques de $8$ sont $2e^{2ik\pi/3}$ pour $k=0,1,2$, soit $2$, $-1+i\sqrt3$ et $-1-i\sqrt3$.

Erreur fréquente : confondre un argument avec une valeur unique ou appliquer une formule polaire à $z=0$. Point de contrôle : expliquer pourquoi $|zw|=|z||w|$ et donner tous les arguments de $-i$.

Points-clés

• Le conjugué vérifie $z\overline z=|z|^2$ et permet de rationaliser un quotient.
• La formule d’Euler $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ relie formes cartésienne et polaire.
• Les racines n-ièmes se répartissent régulièrement sur un cercle et leurs arguments diffèrent de $2\pi/n$.

4. Séries de Laurent, singularités et résidus

Classer avant de calculer

Dans une couronne, une fonction admet une série de Laurent $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-a)^n$. La partie principale contient les puissances négatives. Une singularité isolée est amovible si cette partie est vide, un pôle si elle est finie et non nulle, et essentielle sinon. Le résidu est le coefficient $a_{-1}$; il suffit souvent de l’extraire. Pour un pôle simple, $\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$.

Exemple guidé. Pour $f(z)=1/[z(z-1)]$ au point $a=0$, le pôle est simple ; le résidu vaut $\lim_{z\to0}z f(z)=\lim 1/(z-1)=-1$. Au point $1$, il vaut $\lim_{z\to1}(z-1)f(z)=1$. Ainsi, sur un contour positif entourant les deux pôles, l’intégrale est $2\pi i(-1+1)=0$.

Erreur fréquente : oublier quels pôles sont à l’intérieur, ou confondre rayon de convergence et disque entier. Point de contrôle : pour $1/(z-2)^3$, identifier l’ordre du pôle et le résidu.

Points-clés

• Le type de singularité se lit dans la partie principale de Laurent, pas seulement dans l’écriture initiale.
• Un pôle d’ordre $m$ peut se traiter par une dérivée d’ordre $m-1$ après multiplication par $(z-a)^m$.
• Le théorème des résidus additionne uniquement les résidus des singularités enfermées, avec leur multiplicité topologique.

5. Principe de l’argument et applications des résidus

Compter et intégrer

Si $f$ et $f'$ sont holomorphes sur et dans un contour fermé simple $\gamma$, et si $f$ ne s’annule pas sur $\gamma$, le principe de l’argument affirme que $\frac1{2\pi i}\oint_\gamma f'(z)/f(z)\,dz$ est le nombre de zéros moins le nombre de pôles à l’intérieur, comptés avec multiplicités. Le théorème des résidus généralise le calcul des intégrales rationnelles ou méromorphes : on factorise, on liste les singularités incluses, puis on choisit la formule adaptée.

Exemple guidé. Sur $|z|=2$, considérons $f(z)=z^2-1$. Ses deux zéros $1$ et $-1$ sont intérieurs, sans pôle; donc $\oint f'/f\,dz=2\pi i\times2=4\pi i$. Directement, $f'/f=1/(z-1)+1/(z+1)$, ce qui confirme le résultat.

Erreur fréquente : appliquer le principe si $f$ s’annule sur le contour, ou compter un zéro sans sa multiplicité. Point de contrôle : que change le résultat sur $|z|=1/2$ ? Décrire aussi le cas d’un zéro situé exactement sur le cercle, qui est interdit.

Points-clés

• Le contour doit éviter les zéros et pôles de l’expression utilisée; cette condition est à vérifier avant toute formule.
• Les multiplicités sont automatiquement prises en compte par $f'/f$.
• Un schéma du plan complexe, avec pôles, zéros et orientation, réduit fortement les erreurs de comptage.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Mettre $z=-\sqrt3+i$ sous forme polaire puis calculer $z^3$. Justifie la démarche étape par étape, puis vérifie le résultat par une propriété ou une substitution adaptée.

Correction détaillée

On calcule $|z|=\sqrt{3+1}=2$. Le point est dans le deuxième quadrant et son argument principal est $\theta=5\pi/6$, car $\cos\theta=-\sqrt3/2$ et $\sin\theta=1/2$. Ainsi $z=2e^{5i\pi/6}$. Par la formule de Moivre, $z^3=2^3e^{15i\pi/6}=8e^{5i\pi/2}=8e^{i\pi/2}=8i$.

Exercice 2 · Fondamental

Étudier l’holomorphie de $f(z)=x^2-y^2+i(2xy)$, où $z=x+iy$, et déterminer sa dérivée.

Correction détaillée

On pose $u=x^2-y^2$ et $v=2xy$. Les dérivées sont $u_x=2x$, $u_y=-2y$, $v_x=2y$, $v_y=2x$. Les équations de Cauchy–Riemann sont donc vérifiées partout : $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$. Comme ces fonctions sont polynomiales, elles sont $C^1$ dans tout le plan; $f$ est holomorphe sur $\mathbb C$. Il s’agit de $f(z)=z^2$, donc $f'(z)=2z$.

Exercice 3 · Intermédiaire

Calculer $I=\oint_{|z|=3} (e^z)/(z-1)^2\,dz$, le cercle étant orienté positivement.

Correction détaillée

Écrivons l’intégrande sous la forme $f(z)/(z-a)^2$ avec $f(z)=e^z$ et $a=1$. La fonction exponentielle est holomorphe partout et $1$ est à l’intérieur du cercle $|z|=3$. La formule intégrale de Cauchy d’ordre $2$ donne $I=2\pi i\,f'(1)$. Comme $f'(z)=e^z$, on obtient finalement $I=2\pi i e$. L’orientation positive est essentielle; en sens horaire, le résultat serait $-2\pi i e$.

Exercice 4 · Intermédiaire

Calculer $\oint_{|z|=2} dz/[z(z-1)^2]$ dans le sens positif. Justifie la démarche étape par étape, puis vérifie le résultat par une propriété ou une substitution adaptée.

Correction détaillée

Les singularités intérieures sont $0$ (pôle simple) et $1$ (pôle double). À $0$, $R_0=\lim_{z\to0}1/(z-1)^2=1$. À $1$, posons $g(z)=1/z$; pour $g(z)/(z-1)^2$, le résidu vaut $g'(1)=-1$. La somme des résidus vaut donc $1-1=0$. Par le théorème des résidus, l’intégrale est $2\pi i\times0=0$. On vérifie que le contour n’est pas traversé par une singularité puisque $|0|<2$ et $|1|<2$.

Exercice 5 · Avancé

Calculer $\oint_{|z|=2} e^z/[z^2(z-1)]\,dz$ dans le sens positif, en traitant correctement le pôle double en $0$.

Correction détaillée

Les pôles intérieurs sont $0$ (ordre 2) et $1$ (ordre 1). À $1$, le résidu vaut $\lim_{z\to1}(z-1)e^z/[z^2(z-1)]=e$. À $0$, écrire l’intégrande sous la forme $g(z)/z^2$ avec $g(z)=e^z/(z-1)$, holomorphe près de $0$; le résidu est alors $g'(0)$. Or $g'(z)=e^z/(z-1)-e^z/(z-1)^2=e^z(z-2)/(z-1)^2$, donc $g'(0)=-2$. La somme des résidus vaut $e-2$ et le théorème des résidus donne finalement $\oint_{|z|=2} e^z/[z^2(z-1)]\,dz=2\pi i(e-2)$.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle relation est toujours vraie pour $z\in\mathbb C$ ?

✓ $z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)$ • $z+\overline z=2i\operatorname{Im}(z)$ • $z\overline z=z^2$ • $|z|=z+\overline z$

Explication : En écrivant $z=x+iy$, on obtient $z+\overline z=(x+iy)+(x-iy)=2x=2\operatorname{Re}(z)$.

Question 2

Quel est l’argument principal de $-1-i$ ?

• $\pi/4$ • $3\pi/4$ ✓ $-3\pi/4$ • $-\pi/4$

Explication : Le point est dans le troisième quadrant, sur la diagonale; l’argument principal choisi dans $]-\pi,\pi]$ est $-3\pi/4$.

Question 3

Quelle condition suffit avec $u,v\in C^1$ dans un voisinage pour l’holomorphie ?

• $u_x=v_x$ uniquement ✓ $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$ • $u_y=v_y$ et $u_x=-v_x$ • $u=v$

Explication : Les deux équations de Cauchy–Riemann doivent être vérifiées dans un voisinage, avec la régularité $C^1$.

Question 4

Sur un cercle positif, quelle est la valeur de $\oint dz/(z-a)$ si $a$ est à l’intérieur ?

• $0$ • $1$ ✓ $2\pi i$ • $2\pi$

Explication : La formule intégrale de Cauchy avec le numérateur constant $1$ donne $2\pi i$.

Question 5

Le résidu en un pôle simple $a$ est égal à…

• $\lim_{z\to a}f(z)$ ✓ $\lim_{z\to a}(z-a)f(z)$ • $f'(a)$ • $\lim_{z\to a}(z-a)^2f(z)$

Explication : La multiplication par $z-a$ supprime exactement le dénominateur d’un pôle simple et laisse le coefficient de $(z-a)^{-1}$.

Question 6

Une singularité isolée dont la partie principale de Laurent est infinie est…

• amovible • un pôle simple ✓ essentielle • un point régulier

Explication : Une infinité de puissances négatives caractérise une singularité essentielle.

Question 7

Le principe de l’argument compte principalement…

✓ les zéros moins les pôles à l’intérieur • les modules des zéros • la longueur du contour • les dérivées réelles uniquement

Explication : L’intégrale de $f'/f$ divisée par $2\pi i$ donne zéros moins pôles, avec multiplicités.

Question 8

Quel contrôle est indispensable avant d’appliquer le théorème des résidus ?

• Vérifier que le contour passe par chaque pôle ✓ Lister les singularités situées à l’intérieur et vérifier qu’aucune n’est sur le contour • Remplacer $z$ par un réel • Ignorer l’orientation

Explication : Le contour doit éviter les singularités; seules celles qu’il enferme contribuent à la somme des résidus.

Glossaire

• Argument — Angle $\theta$ tel que $z=|z|e^{i\theta}$; il est défini modulo $2\pi$ pour un nombre non nul.
• Holomorphe — Fonction complexe dérivable au sens complexe dans un voisinage de chacun des points de son domaine.
• Équations de Cauchy–Riemann — Relations $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$ reliant les parties réelle et imaginaire d’une fonction complexe.
• Contour — Chemin fermé orienté, souvent régulier par morceaux, utilisé comme domaine d’intégration complexe.
• Série de Laurent — Développement en puissances entières positives et négatives valable dans une couronne centrée en un point.
• Résidu — Coefficient de $(z-a)^{-1}$ dans la série de Laurent au voisinage de $a$.
• Pôle — Singularité isolée dont la partie principale de Laurent comporte un nombre fini de termes négatifs non nuls.
• Principe de l’argument — Formule qui égalise une intégrale de $f'/f$ et le nombre de zéros moins le nombre de pôles enfermés, multiplicités comprises.

TP · Cartographier les singularités d’une fonction méromorphe

Une équipe doit analyser $F(z)=e^z/[z^2(z-1)]$ sur les cercles $|z|=1/2$ et $|z|=2$, puis comparer les intégrales de contour et l’effet d’une orientation inversée. Le mini-cas est réalisable à la main, avec un tableur ou un court script de vérification symbolique.

Objectifs

• Identifier et classer les singularités de $F$ sans confondre ordre et position.

• Calculer les résidus pertinents et choisir un théorème justifié.

• Relier le résultat à l’orientation et aux pôles effectivement enfermés.

• Présenter une vérification reproductible séparant calcul exact et approximation numérique.

Étapes

1. Dessiner le plan complexe, placer $0$, $1$ et les deux cercles, puis annoter les singularités incluses.

2. Déterminer l’ordre des pôles et calculer chaque résidu par limite ou dérivée adaptée.

3. Calculer les deux intégrales par le théorème des résidus, puis refaire le signe pour le sens horaire.

4. Développer $e^z$ au voisinage de $0$ jusqu’au terme utile et vérifier le résidu de $F$ par coefficient de Laurent.

5. Rédiger une conclusion qui compare les contours, signale les hypothèses et indique une limite de la vérification numérique.

Livrables attendus

• Une page de calculs annotée avec schéma, classification des pôles et résidus.

• Un tableau comparatif des quatre cas : deux cercles et deux orientations.

• Un fichier de vérification (tableur ou script) accompagné d’un court commentaire sur les erreurs d’arrondi.

Critères d’évaluation

• Exactitude des singularités incluses et des ordres : 30 %.

• Résidus, facteurs $2\pi i$ et orientation : 30 %.

• Traçabilité de la vérification et distinction exact/numérique : 20 %.

• Clarté, hypothèses explicites et conclusion comparative : 20 %.

Piste de résolution

On a un pôle d’ordre 2 en $0$ et un pôle simple en $1$. Le cercle $|z|=1/2$ n’enferme que $0$; le cercle $|z|=2$ enferme les deux. Pour le pôle en $0$, écrire $e^z/(z-1)=g(z)$ puis utiliser le coefficient de $z^1$ dans $g(z)/z^2$; pour le pôle en $1$, le résidu vaut $e/(1)^2=e$. La somme du grand cercle est donc la somme des deux résidus, tandis que le petit cercle ne retient que celui de $0$. Une orientation horaire change le signe. La vérification par série tronquée doit comparer plusieurs ordres et documenter l’erreur.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — session normale

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Sujet entièrement original, proposé pour l’entraînement en licence. Il ne s’agit pas d’une épreuve officielle ni d’une annale d’années passées.

Exercice 1

Calculer $\oint_{|z|=2} (z+1)/(z(z-1))\,dz$ dans le sens positif.

Correction : Les pôles $0$ et $1$ sont à l’intérieur. Décomposons $(z+1)/(z(z-1))=A/z+B/(z-1)$. Les égalités $A(z-1)+Bz=z+1$ donnent $-A=1$, donc $A=-1$, puis $A+B=1$, donc $B=2$. La somme des résidus vaut $-1+2=1$. L’intégrale vaut donc $2\pi i$.

Exercice 2

Déterminer si $f(z)=|z|^2$ est dérivable au sens complexe en $0$.

Correction : On écrit $f(z)=z\overline z$. Directement, $[f(h)-f(0)]/h=|h|^2/h=\overline h$, qui tend vers $0$ lorsque $h\to0$; la dérivée en $0$ existe donc et vaut $0$. Cependant $f$ n’est holomorphe dans aucun voisinage : pour $z=x+iy$, $u=x^2+y^2$ et $v=0$, les équations donnent $u_x=2x=0$ et $u_y=2y=0$ seulement en $(0,0)$. Il faut distinguer dérivabilité ponctuelle et holomorphie locale.

Exercice 3

Développer $1/[z(z-1)]$ en série de Laurent dans la couronne $0<|z|<1$ et en déduire le résidu en $0$.

Correction : On écrit $1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]$. Pour $|z|<1$, $1/(1-z)=\sum_{n\ge0}z^n$. Ainsi $f(z)=-\sum_{n\ge0}z^{n-1}=-z^{-1}-1-z-z^2-\cdots$. Le coefficient de $z^{-1}$ est $-1$, donc le résidu en $0$ vaut $-1$. La condition $|z|<1$ est indispensable à cette expansion; elle ne décrit pas la couronne extérieure.

Sujet original de préparation — session de rattrapage

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Sujet entièrement original, proposé pour l’entraînement en licence. Il ne s’agit pas d’une épreuve officielle ni d’une annale d’années passées.

Exercice 1

Calculer $\oint_{|z|=3} dz/(z^2+4)^2$ dans le sens positif.

Correction : Les pôles sont $2i$ et $-2i$, tous deux à l’intérieur de $|z|=3$, et chacun est double. La fonction est rationnelle et se comporte comme $1/z^4$, donc le résidu à l’infini est nul; la somme des résidus finis vaut alors $0$. Par le théorème des résidus, l’intégrale vaut $2\pi i$ fois cette somme, donc $0$. On pourrait aussi calculer les deux résidus, mais la symétrie et le comportement à l’infini fournissent ici une justification plus courte.

Exercice 2

Pour $f(z)=z^3+3z$, vérifier les équations de Cauchy–Riemann et calculer $f'(1-i)$.

Correction : On reconnaît un polynôme en $z$, donc il est holomorphe partout et $f'(z)=3z^2+3$. Pour expliciter le critère, $z^3=(x^3-3xy^2)+i(3x^2y-y^3)$ et $3z=3x+i3y$. Ainsi $u=x^3-3xy^2+3x$, $v=3x^2y-y^3+3y$. On trouve $u_x=3x^2-3y^2+3=v_y$ et $u_y=-6xy=-v_x$ puisque $v_x=6xy$. Enfin $(1-i)^2=-2i$, donc $f'(1-i)=3(-2i)+3=3-6i$.

Exercice 3

À l’aide du principe de l’argument, compter les zéros de $p(z)=z^2+2z+2$ dans $|z|<2$.

Correction : On factorise $p(z)=(z+1-i)(z+1+i)$. Ses deux zéros sont $-1+i$ et $-1-i$, de module $\sqrt2<2$. Il n’y a aucun pôle et aucun zéro sur $|z|=2$. Le principe de l’argument donne donc $\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=2}p'(z)/p(z)\,dz=2$, les deux zéros étant simples. Le nombre demandé est ainsi $2$.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Nombres complexes, module, argument et formes polaires

Refaire les conversions cartésien/polaire, résoudre trois équations de racines et tenir une fiche des identités de conjugaison. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Holomorphie, Cauchy–Riemann et intégrales de contour

Étudier quatre fonctions $u+iv$, paramétrer un cercle dans les deux sens et appliquer deux fois la formule intégrale de Cauchy. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Laurent, singularités et résidus

Classer dix singularités, calculer des résidus par trois méthodes et vérifier une expansion sur une couronne précisée. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Principe de l’argument et entraînement global

Résoudre un sujet original chronométré, cartographier les pôles avant chaque intégrale et corriger les erreurs avec une grille d’hypothèses. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.