Dossier complet — Algèbre linéaire

L2 · S3 · Mathématiques et calcul scientifique

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Identifier et démontrer les propriétés d’un espace vectoriel, d’un sous-espace, d’une base et de la dimension.

• Calculer noyau, image et rang d’une application linéaire, puis appliquer le théorème du rang.

• Résoudre un système linéaire par élimination de Gauss et interpréter correctement ses solutions.

• Calculer un déterminant et un polynôme caractéristique en choisissant une méthode adaptée.

• Déterminer des valeurs propres, tester la diagonalisabilité et exploiter une diagonalisation pour calculer des puissances.

Prérequis

• Calcul algébrique élémentaire, équations et systèmes linéaires à deux ou trois inconnues.

• Notions de fonctions, de composition et de raisonnement par implication ou contre-exemple.

• Manipulation des nombres réels, des polynômes et des sommes finies; aucune bibliothèque logicielle n’est supposée.

Cours

1. Espaces vectoriels

Idée centrale

Un espace vectoriel sur un corps (ici (\mathbb R)) est muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire, compatibles avec les axiomes usuels. Une famille ((v_1,\ldots,v_p)) est libre si la combinaison nulle impose tous les coefficients nuls, génératrice si elle permet d’écrire tout vecteur, et une base si elle est à la fois libre et génératrice. La dimension est le nombre de vecteurs d’une base.

Un sous-ensemble défini par des équations homogènes est souvent un sous-espace : il contient le vecteur nul et reste stable par combinaisons linéaires. Erreur fréquente : confondre une famille génératrice avec une base, ou oublier de vérifier la stabilité.

Exemple guidé. Dans (\mathbb R^2), (u=(1,2)), (v=(2,4)) sont liés car (v=2u). La famille ne peut donc pas être une base. En revanche (u=(1,2)), (w=(0,1)) est libre : (a u+b w=(0,0)) donne (a=0), puis (b=0). Elle forme une base de (\mathbb R^2).

Point de contrôle : tester la liberté revient à résoudre une combinaison linéaire nulle.

Points-clés

• Une base est une famille libre et génératrice; toutes les bases d’un espace de dimension finie ont même cardinal.
• Pour prouver qu’un ensemble est un sous-espace, vérifier le vecteur nul et la stabilité par combinaison linéaire.
• Une relation linéaire non triviale suffit à montrer qu’une famille n’est pas libre.

2. Matrices et systèmes

Du système à la forme échelonnée

Dans des bases fixées, une application linéaire se représente par une matrice. Résoudre (AX=B) revient à transformer la matrice augmentée par des opérations élémentaires sur les lignes : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ou ajouter un multiple d’une ligne à une autre. Ces opérations conservent l’ensemble des solutions. Une ligne ([0\ \cdots\ 0\mid c]) avec (c\ne0) signale l’incompatibilité; une variable sans pivot est libre.

Exemple guidé. Pour (x+2y=5), (2x+4y=10), la matrice augmentée est (\begin{bmatrix}1&2&5\2&4&10\end{bmatrix}). Remplacer la deuxième ligne par elle moins deux fois la première donne une ligne nulle : il reste (x+2y=5). En posant (y=t), on obtient (x=5-2t). Il y a donc une infinité de solutions ((x,y)=(5-2t,t)).

Erreur fréquente : diviser par un pivot nul sans permuter les lignes, ou conclure « une seule solution » dès qu’un système est carré. Point de contrôle : compter pivots et variables libres après chaque élimination.

Points-clés

• Les opérations élémentaires sur les lignes préservent les solutions d’un système.
• Le rang est le nombre de pivots dans une forme échelonnée.
• Une incompatibilité vient d’une équation 0 égal une constante non nulle; une variable libre paramètre les solutions.

3. Valeurs propres

Directions stables

Un vecteur non nul (v) est propre pour (A) si (Av=\lambda v). Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique (\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)). Pour une valeur (\lambda), on résout ((A-\lambda I)v=0) afin d’obtenir son espace propre. Une matrice de taille (n) est diagonalisable si elle possède une base de vecteurs propres; alors (A=PDP^{-1}) et (A^k=PD^kP^{-1}).

Exemple guidé. Pour (A=\begin{pmatrix}2&1\0&3\end{pmatrix}), (\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)(3-\lambda)). Les valeurs propres sont 2 et 3. Pour 2, (A-2I) impose (y=0), donc (v_2=(1,0)). Pour 3, l’équation (-x+y=0) donne (v_3=(1,1)). Deux vecteurs propres indépendants forment une base : la matrice est diagonalisable.

Erreur fréquente : croire que toute matrice ayant un polynôme scindé est diagonalisable; il faut assez de vecteurs propres indépendants. Point de contrôle : additionner les dimensions des espaces propres et comparer à (n).

Points-clés

• Les valeurs propres se calculent via le polynôme caractéristique, puis les vecteurs propres via un noyau.
• La diagonalisabilité exige une base complète de vecteurs propres, pas seulement des racines réelles.
• Une diagonalisation transforme les puissances matricielles en puissances de scalaires.

4. Applications linéaires, noyau, image et rang

Lire une application linéaire

Une application (f:E\to F) est linéaire si (f(au+bv)=af(u)+bf(v)). Son noyau est (\ker f={u:f(u)=0}), et son image est l’ensemble des vecteurs effectivement atteints. Ce sont des sous-espaces. Le théorème du rang donne, en dimension finie, (\dim E=\dim(\ker f)+\dim(\operatorname{Im}f)). La linéarité ne signifie pas seulement « droite » : une application constante non nulle n’est pas linéaire.

Exemple guidé. Pour (f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2), (f(x,y)=(x+y,2x+2y)), poser (f(x,y)=(0,0)). On obtient (x+y=0), donc (\ker f=\operatorname{Vect}((1,-1))), de dimension 1. L’image est (\operatorname{Vect}((1,2))), car (f(x,y)=(x+y)(1,2)), donc son rang vaut 1. La formule donne bien (2=1+1).

Erreur courante : donner deux générateurs colinéaires de l’image sans réduire la famille. Point de contrôle : comparer toujours les dimensions du noyau et de l’image avec celle du domaine.

Points-clés

• Le noyau mesure les directions envoyées sur zéro; l’image mesure les sorties possibles.
• Le théorème du rang relie dimension du domaine, noyau et image.
• Pour décrire une image, produire une famille génératrice puis extraire une base.

5. Déterminants et inversibilité

Un critère compact

Le déterminant d’une matrice carrée encode l’effet de l’application sur les volumes orientés et fournit le critère (A) inversible (\Longleftrightarrow \det(A)\ne0). Pour une matrice (2\times2), (\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc). Les opérations de lignes ont des effets précis : un échange change le signe, une multiplication par (\alpha) multiplie le déterminant par (\alpha), tandis qu’un ajout de multiple d’une ligne ne le change pas.

Exemple guidé. Pour (A=\begin{pmatrix}2&1\3&2\end{pmatrix}), (\det A=2\cdot2-1\cdot3=1). La matrice est donc inversible. La formule (A^{-1}=\frac1{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\-c&a\end{pmatrix}) donne (A^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\-3&2\end{pmatrix}). Vérification : le produit vaut l’identité.

Pour une matrice plus grande, développer selon une ligne peut être coûteux; une triangularisation est souvent plus efficace, en corrigeant les effets des échanges et des facteurs. Erreur fréquente : oublier qu’un déterminant n’est défini que pour une matrice carrée. Point de contrôle : vérifier (AA^{-1}=I) ou retrouver le nombre de pivots.

Points-clés

• Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
• Chaque opération élémentaire sur les lignes modifie le déterminant selon une règle identifiable.
• Le déterminant nul équivaut à des colonnes liées et à un rang strictement inférieur à la taille.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Dans $\mathbb R^3$, déterminer si $F=\{(x,y,z)\mid x-2y+z=0\}$ est un sous-espace, puis en donner une base et la dimension.

Correction détaillée

L’équation est homogène. Si $u,v\in F$ et $a,b\in\mathbb R$, alors $(au+bv)$ vérifie encore $x-2y+z=0$; de plus $(0,0,0)\in F$. C’est donc un sous-espace. On isole $x=2y-z$ et on écrit $(x,y,z)=y(2,1,0)+z(-1,0,1)$. Les deux vecteurs sont indépendants (la deuxième coordonnée impose le premier coefficient nul, puis la troisième le second). Une base est donc $((2,1,0),(-1,0,1))$ et $\dim F=2$.

Exercice 2 · Fondamental

Résoudre par élimination de Gauss le système $x+y+z=2$, $2x-y+z=1$, $x+2y-z=2$.

Correction détaillée

La matrice augmentée est $\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\2&-1&1&1\\1&2&-1&2\end{array}\right]$. Faire $L_2\leftarrow L_2-2L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donne $[1,1,1|2]$, $[0,-3,-1|-3]$, $[0,1,-2|0]$. Échanger les deux dernières lignes : $[0,1,-2|0]$, $[0,-3,-1|-3]$. Puis $L_2\leftarrow L_2+3L_3$ donne $[0,0,-7|-3]$, donc $z=3/7$. L’équation $y-2z=0$ donne $y=6/7$. Enfin $x=2-y-z=5/7$. La solution unique est $(x,y,z)=(5/7,6/7,3/7)$; la substitution dans les trois équations vérifie le résultat.

Exercice 3 · Intermédiaire

Soit $f: \mathbb R^3\to\mathbb R^3$ de matrice $A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&3&2\end{pmatrix}$. Déterminer une base du noyau, une base de l’image et le rang.

Correction détaillée

Réduisons $A$. Faire $L_3\leftarrow L_3-L_1$ donne $(0,1,1)$, identique à $L_2$; puis $L_3\leftarrow L_3-L_2$ donne une ligne nulle. Les pivots sont en colonnes 1 et 2, donc le rang vaut 2. Pour le noyau, $x+2y+z=0$ et $y+z=0$. Poser $z=t$ donne $y=-t$, puis $x=t$ : le noyau est engendré par $(1,-1,1)$. Pour l’image, on prend les colonnes pivots de la matrice initiale, pas celles de la matrice réduite : $(1,0,1)$ et $(2,1,3)$ forment une base de l’image. On vérifie $3=2+1$ pour la troisième colonne, qui est donc dépendante.

Exercice 4 · Intermédiaire

Diagonaliser, si possible, $A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}$ et calculer $A^5$ sous la forme $PD^5P^{-1}$.

Correction détaillée

Le polynôme caractéristique vaut $(4-\lambda)(3-\lambda)-2=\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-5)(\lambda-2)$. Pour $\lambda=5$, $(A-5I)v=0$ donne $-x+y=0$, donc $v_5=(1,1)$. Pour $\lambda=2$, $(A-2I)v=0$ donne $2x+y=0$, donc $v_2=(1,-2)$. Ces vecteurs sont indépendants. Poser $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-2\end{pmatrix}$ et $D=\operatorname{diag}(5,2)$; alors $A=PDP^{-1}$, avec $P^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$. Ainsi $A^5=PD^5P^{-1}=P\operatorname{diag}(3125,32)P^{-1}$. Le produit donne $A^5=\frac13\begin{pmatrix}6282&3093\\6186&3189\end{pmatrix}$, et la multiplication directe par $A$ peut confirmer la récurrence.

Exercice 5 · Avancé

Pour $A_a=\begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&1\\0&0&2\end{pmatrix}$, étudier selon $a\in\mathbb R$ les valeurs propres et la diagonalisabilité, puis établir une récurrence exacte pour $A_a^n$ lorsque $a\ne2$.

Correction détaillée

La matrice est triangulaire, donc les valeurs propres sont $a$ (multiplicité 2) et $2$. Si $a\ne2$, l’espace propre associé à $a$ est défini par $y=z=0$, de dimension 1, et celui associé à 2 est de dimension 1 : il manque une dimension, donc $A_a$ n’est pas diagonalisable. Si $a=2$, la matrice est un bloc de Jordan de taille 3, avec un seul espace propre de dimension 1; elle n’est pas diagonalisable non plus. Pour $a\ne2$, on peut toutefois calculer les puissances par récurrence ou interpolation. Écrire $A_a=aI+N$ sur le bloc supérieur gauche ne suffit pas à isoler le couplage avec la troisième coordonnée; une méthode robuste est d’utiliser Cayley-Hamilton. Ici, le résultat général est obtenu par Cayley-Hamilton : $\chi(t)=(t-a)^2(t-2)$, donc $A_a^3-(2a+2)A_a^2+(a^2+4a)A_a-2a^2I=0$. Cette identité fournit une récurrence exacte pour $A_a^n$, avec $A_a^0=I$, $A_a^1=A_a$, $A_a^2$ calculée directement.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle condition caractérise une famille libre ?

• Toute combinaison linéaire vaut un vecteur non nul. ✓ La combinaison linéaire nulle impose tous les coefficients nuls. • Elle contient toujours le vecteur nul. • Tous ses vecteurs ont la même norme.

Explication : La liberté signifie qu’aucune relation linéaire non triviale ne relie les vecteurs : seule la combinaison dont tous les coefficients sont nuls donne le vecteur nul.

Question 2

Quel ensemble est toujours un sous-espace vectoriel ?

✓ L’image d’une application linéaire. • Un cercle passant par l’origine. • Un plan affine ne passant pas par l’origine. • L’ensemble des vecteurs de norme 1.

Explication : L’image est stable par addition et multiplication scalaire grâce à la linéarité. Les autres ensembles ne sont généralement pas stables ou ne contiennent pas le vecteur nul.

Question 3

Que mesure le rang d’une application linéaire ?

• La dimension de son domaine. • Le nombre de lignes de sa matrice. ✓ La dimension de son image. • La somme de ses valeurs propres.

Explication : Le rang est par définition la dimension de l’image, c’est-à-dire le nombre de directions de sortie indépendantes.

Question 4

Quelle ligne signale une contradiction dans une forme échelonnée augmentée ?

• $[1\ 0\ 0\mid 1]$ • $[0\ 1\ 0\mid 0]$ ✓ $[0\ 0\ 0\mid c]$ avec $c\ne0$ • $[0\ 0\ 1\mid 2]$

Explication : Cette ligne représente l’équation $0=c$, impossible lorsque $c$ est non nul; le système n’a alors aucune solution.

Question 5

Quand une matrice carrée est-elle inversible ?

• Quand son déterminant est nul. ✓ Quand son déterminant est non nul. • Quand elle est symétrique uniquement. • Quand toutes ses entrées sont positives.

Explication : Pour une matrice carrée, l’équivalence fondamentale est $A$ inversible si et seulement si $\det(A)\ne0$.

Question 6

Quelle équation définit un vecteur propre non nul ?

• $Av=0$ pour toute matrice. • $Av=v+\lambda$. ✓ $Av=\lambda v$. • $A+v=\lambda$

Explication : Un vecteur propre conserve sa direction sous l’action de la matrice et est seulement multiplié par le scalaire $\lambda$.

Question 7

Quelle condition suffit à diagonaliser une matrice de taille $n$ ?

• Elle possède $n$ valeurs propres, comptées avec répétition. ✓ Elle possède $n$ vecteurs propres linéairement indépendants. • Son déterminant vaut toujours 1. • Elle est triangulaire.

Explication : Une base de $n$ vecteurs propres permet de placer ces vecteurs en colonnes de $P$ et d’obtenir $A=PDP^{-1}$. Une multiplicité algébrique seule ne suffit pas.

Question 8

Quel est le lien correct entre noyau, image et dimension ?

• $\dim E=\dim(\ker f)-\dim(\operatorname{Im}f)$ ✓ $\dim E=\dim(\ker f)+\dim(\operatorname{Im}f)$ • $\dim E=\dim(\ker f)\dim(\operatorname{Im}f)$ • Il n’existe aucun lien général.

Explication : C’est le théorème du rang pour une application linéaire entre espaces de dimension finie.

Glossaire

• Base — Famille à la fois libre et génératrice d’un espace vectoriel; elle fournit des coordonnées uniques.
• Dimension — Nombre de vecteurs d’une base d’un espace vectoriel de dimension finie.
• Application linéaire — Application respectant les combinaisons linéaires : $f(au+bv)=af(u)+bf(v)$.
• Noyau — Sous-espace des vecteurs envoyés sur le vecteur nul par une application linéaire.
• Image — Sous-espace constitué des valeurs effectivement prises par une application linéaire.
• Rang — Dimension de l’image d’une application ou nombre de pivots d’une matrice.
• Valeur propre — Scalaire $\lambda$ pour lequel il existe un vecteur non nul $v$ tel que $Av=\lambda v$.
• Diagonalisation — Écriture $A=PDP^{-1}$ avec $D$ diagonale et $P$ inversible formée de vecteurs propres.

TP · Mini-cas : fiabiliser un solveur de systèmes par Gauss

Une petite équipe doit vérifier les paramètres d’un modèle de mélange de trois produits. Les équations de conservation forment un système $AX=b$; il faut détecter automatiquement une solution unique, une incompatibilité ou des paramètres libres.

Objectifs

• Traduire un système concret en matrice augmentée sans perdre unités ni ordre des inconnues.

• Implémenter l’élimination de Gauss avec pivot partiel et documenter les opérations.

• Classer correctement les systèmes selon le rang et contrôler la solution par produit matriciel.

• Présenter une conclusion reproductible, incluant les limites numériques d’un calcul flottant.

Étapes

1. Choisir un système à trois inconnues, écrire les unités et saisir $A$ et $b$ dans un tableau de données.

2. Coder une fonction de pivot partiel qui échange la ligne du plus grand coefficient absolu dans la colonne active.

3. Échelonner la matrice augmentée, conserver une trace lisible des pivots et repérer les lignes contradictoires ou nulles.

4. Résoudre par remontée, reconstruire $x$, puis calculer le résidu $r=Ax-b$ et sa norme $\|r\|_\infty$.

5. Tester au moins trois cas (solution unique, infinité de solutions, aucune solution) et discuter un seuil de tolérance.

Livrables attendus

• Un court script commenté ou un notebook contenant la fonction de Gauss et trois tests reproductibles.

• Un tableau avant/après donnant pivots, rang estimé, classification et solution éventuelle.

• Une note d’une page expliquant le choix du pivot, le résidu et deux limites numériques.

Critères d’évaluation

• Exactitude : les trois classifications et les solutions concordent avec une vérification indépendante.

• Traçabilité : les opérations de lignes et les hypothèses d’unités sont explicitement consignées.

• Robustesse : le pivot nul et les coefficients très petits sont traités sans division illégitime.

• Interprétation : la conclusion relie rang, nombre de paramètres et résidu, sans confondre erreur d’arrondi et incompatibilité.

Piste de résolution

Construire une forme échelonnée avec pivot partiel, compter les pivots et rechercher une ligne $[0\cdots0\mid c]$. Une solution unique apparaît si le rang vaut le nombre d’inconnues; sinon, des variables libres décrivent les solutions. Pour le cas unique, effectuer la remontée puis vérifier chaque composante par $Ax$ et calculer le résidu. Les tests peuvent utiliser un système diagonal, un système dont la troisième équation est combinaison des deux premières, puis un même membre modifié pour créer une contradiction.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — session normale

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale et non officielle. Il ne reproduit ni ne prétend reproduire une épreuve d’une année passée.

Exercice 1

Soit $F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3:x+y-z=0\}$. Donner une base de $F$ et une base d’un supplémentaire de $F$ dans $\mathbb R^3$. Justifier.

Correction : On écrit $z=x+y$, donc $(x,y,z)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$. Les deux vecteurs sont indépendants et forment une base de $F$, de dimension 2. Le vecteur $(0,0,1)$ n’appartient pas à $F$ et complète cette base : si $a(1,0,1)+b(0,1,1)+c(0,0,1)=0$, les deux premières coordonnées donnent $a=b=0$, puis la troisième donne $c=0$. Ainsi $\operatorname{Vect}((0,0,1))$ est un supplémentaire.

Exercice 2

Résoudre et discuter selon $m$ le système $x+y+z=1$, $x+2y+3z=2$, $x+3y+mz=3$.

Correction : Soustraire la première ligne aux deux suivantes donne $y+2z=1$ et $2y+(m-1)z=2$. Soustraire deux fois la première de la seconde donne $(m-5)z=0$. Si $m\ne5$, alors $z=0$, $y=1$, $x=0$ : solution unique. Si $m=5$, la troisième équation réduite est nulle et $z=t$ est libre; alors $y=1-2t$ et $x=1-y-z=t$. Les solutions sont $(t,1-2t,t)$ : infinité de solutions.

Exercice 3

Pour $B=\begin{pmatrix}0&1\\-2&3\end{pmatrix}$, déterminer les valeurs propres et une diagonalisation éventuelle, puis donner une formule pour $B^n$.

Correction : On calcule $\chi_B(\lambda)=\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$. Pour $1$, $-x+y=0$, donc $v_1=(1,1)$; pour $2$, $-2x+y=0$, donc $v_2=(1,2)$. Les vecteurs sont indépendants. Avec $P=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}$ et $D=\operatorname{diag}(1,2)$, $B=PDP^{-1}$, $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$. Donc $B^n=PD^nP^{-1}=\begin{pmatrix}2-2^n&-1+2^n\\2-2^{n+1}&-1+2^{n+1}\end{pmatrix}$ pour $n\ge0$.

Sujet original de préparation — session de rattrapage

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale et non officielle. Il ne reproduit ni ne prétend reproduire une épreuve d’une année passée.

Exercice 1

Soit $g(x,y,z)=(x-y, y-z)$. Déterminer le noyau, une base de l’image et vérifier le théorème du rang.

Correction : Le noyau vérifie $x-y=0$ et $y-z=0$, donc $x=y=z=t$ et $\ker g=\operatorname{Vect}((1,1,1))$, de dimension 1. Les images des vecteurs de la base canonique sont $(1,0)$, $(-1,1)$ et $(0,-1)$; les deux premiers sont indépendants et engendrent $\mathbb R^2$. Ainsi $\dim(\operatorname{Im}g)=2$. Comme le domaine a dimension 3, $3=1+2$, conformément au théorème du rang.

Exercice 2

Calculer le déterminant de $C=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ et décider si le système $CX=d$ possède une solution unique pour tout $d$.

Correction : Développer selon la première ligne : $\det C=1(2-1)-2(4-0)=1-8=-7$. Le déterminant est non nul, donc $C$ est inversible. Par conséquent, pour tout $d\in\mathbb R^3$, le système $CX=d$ possède exactement une solution, donnée par $X=C^{-1}d$; il n’est pas nécessaire de calculer explicitement l’inverse pour conclure.

Exercice 3

Étudier la diagonalisabilité de $D=\begin{pmatrix}3&1\\0&3\end{pmatrix}$ et calculer $D^n$.

Correction : Le seul terme diagonal vaut 3, donc l’unique valeur propre est 3 de multiplicité algébrique 2. Résoudre $(D-3I)v=0$ donne $y=0$, donc l’espace propre est engendré par $(1,0)$ et a dimension 1 : $D$ n’est pas diagonalisable. Écrire $D=3I+N$ avec $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et $N^2=0$. Le binôme donne $D^n=(3I+N)^n=3^nI+n3^{n-1}N$, soit $D^n=\begin{pmatrix}3^n&n3^{n-1}\\0&3^n\end{pmatrix}$ pour $n\ge1$, et $D^0=I$.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Espaces vectoriels, sous-espaces, familles libres, bases et coordonnées.

Refaire deux preuves de sous-espace, résoudre cinq combinaisons linéaires nulles et créer une fiche de critères avec contre-exemples. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Applications linéaires, noyau, image, rang et systèmes.

Réduire quatre matrices augmentées, paramétrer les solutions et vérifier chaque résultat par substitution et par le théorème du rang. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Déterminants, inversibilité et calcul matriciel.

Calculer des déterminants par deux méthodes, inverser deux matrices et expliquer l’effet de chaque opération élémentaire. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Valeurs propres, espaces propres, diagonalisation et synthèse.

Traiter trois matrices (diagonalisable, non diagonalisable, triangulaire), refaire un sujet original en temps limité puis corriger les erreurs. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.