Dossier complet — Probabilites et statistiques

L2 · S3 · Mathématiques et calcul scientifique

Dossier pédagogique original Matrice MI. Contenu d’entraînement non officiel; il ne remplace pas le support ou la maquette d’un établissement.

Objectifs d’apprentissage

• Modéliser une expérience aléatoire par un univers, des événements et une probabilité cohérente.

• Calculer et interpréter lois, espérances, variances et probabilités conditionnelles.

• Décrire un échantillon avec des indicateurs et des graphiques adaptés aux données.

• Construire et interpréter des estimateurs, intervalles de confiance et tests simples.

• Communiquer un résultat statistique en explicitant hypothèses, unités, incertitude et limites.

Prérequis

• Maîtriser les fractions, puissances, logarithmes élémentaires et manipulations algébriques.

• Savoir lire une fonction, une somme et une intégrale simple, ainsi qu’un tableau de données.

• Connaître les notions de moyenne, variance descriptive et raisonnement par complémentaire.

Cours

1. Probabilité conditionnelle

Modèle probabiliste

Une expérience aléatoire est décrite par un univers $\Omega$, ses événements (sous-ensembles) et une probabilité $P$ vérifiant $P(\Omega)=1$ et l’additivité sur des événements incompatibles. Le complémentaire donne $P(A^c)=1-P(A)$, tandis que l’union se traite par $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Lorsque l’information $B$ est connue, $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$, à condition que $P(B)>0$. La formule des probabilités totales et celle de Bayes organisent un partitionnement de l’univers; elles ne permettent pas de supprimer une dépendance sans justification.

Exemple guidé. Une urne contient 3 boules rouges et 2 bleues. On tire deux boules sans remise. La probabilité d’obtenir deux rouges vaut $3/5\times2/4=3/10$. Sachant que la première est rouge, la probabilité que la seconde le soit est $2/4=1/2$. Les tirages ne sont donc pas indépendants.

Point de contrôle. Vérifier toujours l’univers, le caractère avec ou sans remise, puis si le dénominateur d’un conditionnement est non nul.

Points-clés

• Définir un événement et utiliser complémentaire, union et intersection.
• Conditionner sans confondre indépendance et incompatibilité.
• Appliquer probabilités totales et Bayes avec une partition explicite.

2. Variables aléatoires

Décrire une quantité aléatoire

Une variable aléatoire associe un nombre à chaque issue. Dans le cas discret, sa loi donne $P(X=x)$; dans le cas continu, une densité $f$ vérifie $P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx$. L’espérance est une moyenne théorique: $\mathbb E(X)=\sum_x xP(X=x)$ ou $\int xf(x)dx$. La variance $\operatorname{Var}(X)=\mathbb E(X^2)-\mathbb E(X)^2$ mesure la dispersion, et l’écart-type est sa racine carrée. Une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ compte des succès indépendants; une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ modélise des comptages rares; une loi normale est continue et sa probabilité en un point vaut zéro.

Exemple guidé. Pour $X\sim\mathcal B(4,0{,}3)$, $P(X=2)=\binom42(0{,}3)^2(0{,}7)^2=0{,}2646$. De plus $\mathbb E(X)=np=1{,}2$ et $\operatorname{Var}(X)=np(1-p)=0{,}84$.

Point de contrôle. Identifier le support, vérifier que les probabilités somment à 1 et distinguer variance (unités au carré) et écart-type (unités initiales).

Points-clés

• Construire ou lire une loi discrète et une densité continue.
• Calculer espérance, variance et écart-type avec leurs unités.
• Reconnaître binomiale, Poisson et normale selon le mécanisme étudié.

3. Échantillonnage et estimation

Du tableau de données à l’échantillon

Pour des observations $x_1,\ldots,x_n$, la moyenne $\bar x=n^{-1}\sum x_i$ décrit le centre, la médiane résiste mieux aux valeurs extrêmes et les quartiles partagent les rangs. La variance empirique corrigée $s^2=(n-1)^{-1}\sum(x_i-\bar x)^2$ estime la variance d’une population; diviser par $n$ donne une dispersion descriptive mais pas, en général, l’estimateur corrigé. Une représentation pertinente dépend du type de variable: histogramme pour une quantitative continue, barres pour une catégorie. Un échantillon biaisé ne devient pas représentatif par un calcul plus précis; corrélation ne signifie pas causalité.

Exemple guidé. Pour $2,4,4,6,9$, $\bar x=25/5=5$ et la médiane est 4. Les écarts au carré sont 9,1,1,1,16, soit 28; ainsi $s^2=28/4=7$ et $s\approx2{,}65$. La valeur 9 tire la moyenne vers le haut, ce que révèle la comparaison avec la médiane.

Point de contrôle. Indiquer $n$, l’unité, la convention de variance, les valeurs manquantes et la méthode de quantiles employée.

Points-clés

• Choisir moyenne, médiane et quantiles selon la forme des données.
• Distinguer variance descriptive et variance empirique corrigée.
• Relier graphique, unité, biais d’échantillonnage et interprétation.

4. Estimation ponctuelle et intervalles de confiance

Quantifier l’incertitude d’un estimateur

Un estimateur $\hat\theta$ est une variable calculée sur l’échantillon; on étudie son biais, sa variance et sa convergence. Pour une moyenne issue d’une population de variance connue $\sigma^2$, l’intervalle normal à 95 % est $\bar X\pm1{,}96\,\sigma/\sqrt n$. Si $\sigma$ est inconnue et que la population est normale, on remplace 1,96 par un quantile de Student à $n-1$ degrés de liberté. Cet intervalle décrit une procédure: sur des répétitions, environ 95 % des intervalles couvrent le paramètre. Il ne signifie pas que le paramètre aléatoire a 95 % de chance d’être dans l’intervalle observé.

Exemple guidé. Une moyenne observée vaut 52, $n=100$ et $\sigma=10$. La marge est $1{,}96\times10/10=1{,}96$; l’intervalle est donc $[50{,}04;53{,}96]$ dans l’unité de la mesure. Une taille quatre fois plus grande divise la marge par deux.

Point de contrôle. Vérifier indépendance, modèle de mesure, niveau de confiance, quantile utilisé et unité avant d’arrondir.

Points-clés

• Relier estimateur, biais, variance et taille d’échantillon.
• Construire un intervalle de confiance avec le bon quantile.
• Interpréter correctement le niveau de confiance sans lecture bayésienne abusive.

5. Tests, régression et communication des résultats

Décider sans surinterpréter

Un test fixe une hypothèse nulle $H_0$, une alternative, une statistique et un seuil $\alpha$. La p-valeur est la probabilité, sous $H_0$, d’observer une statistique au moins aussi incompatible que celle obtenue; elle n’est ni la probabilité que $H_0$ soit vraie ni une mesure d’importance pratique. Une régression linéaire $Y=\beta_0+\beta_1X+\varepsilon$ estime une association conditionnellement aux hypothèses: linéarité, erreurs centrées, variance raisonnablement stable et observations pertinentes. Un coefficient de détermination élevé ne prouve pas la causalité.

Exemple guidé. Pour tester $H_0:\mu=10$ contre $H_1:\mu\ne10$, on observe $\bar x=10{,}8$, $s=2$ et $n=25$. La statistique de Student vaut $t=(10{,}8-10)/(2/5)=2$. Avec 24 degrés de liberté, une p-valeur bilatérale approximative de 0,057 est supérieure à 0,05: on ne rejette pas $H_0$ au seuil de 5 %, sans conclure qu’elle est vraie.

Point de contrôle. Rapporter effet, intervalle, p-valeur, hypothèses et limites, plutôt qu’un simple « significatif » ou « non significatif ».

Points-clés

• Formuler $H_0$, $H_1$, seuil, statistique et règle de décision.
• Distinguer p-valeur, niveau de test et importance pratique.
• Interpréter une régression avec diagnostics et prudence causale.

Exercices corrigés

Exercice 1 · Fondamental

Une urne contient 5 jetons dont 3 portent A et 2 portent B. On tire deux jetons successivement sans remise. Calculer la probabilité d’obtenir exactement un jeton A, puis la probabilité d’obtenir un jeton A au deuxième tirage sachant que le premier est A.

Correction détaillée

Notons A_i l’événement « A au tirage i ». Exactement un A correspond à A_1\cap A_2^c ou A_1^c\cap A_2. Les deux probabilités valent respectivement (3/5)(2/4)=3/10 et (2/5)(3/4)=3/10; la somme vaut 3/5. Ensuite P(A_2|A_1)=P(A_1\cap A_2)/P(A_1)=(3/10)/(3/5)=1/2, ce qui est aussi le comptage direct 2 jetons A restants sur 4.

Exercice 2 · Fondamental

Le nombre X de défauts sur une longueur de câble suit une loi de Poisson de paramètre 2. Calculer P(X=0), P(X\le 1), E(X) et Var(X).

Correction détaillée

Pour une loi de Poisson, P(X=k)=e^{-2}2^k/k!. Donc P(X=0)=e^{-2}\approx0,1353. Puis P(X\le1)=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}\approx0,4060. Pour une loi P(lambda), l’espérance et la variance valent toutes deux lambda: E(X)=2 et Var(X)=2 (défauts par longueur au carré pour la variance si l’unité est conservée).

Exercice 3 · Intermédiaire

Dans une population de variance connue sigma=12, un échantillon de taille n=64 donne une moyenne x_barre=103. Construire l’intervalle de confiance bilatéral à 95 % de la moyenne, puis expliquer l’effet d’un passage à n=256.

Correction détaillée

L’erreur-type vaut sigma/sqrt(n)=12/8=1,5. Avec le quantile normal 1,96, la marge vaut 1,96\times1,5=2,94. L’intervalle est [103-2,94;103+2,94]=[100,06;105,94]. Pour n=256, l’erreur-type devient 12/16=0,75, la marge 1,47 et l’intervalle [101,53;104,47] si la moyenne observée reste 103. La marge est divisée par deux car la taille est multipliée par quatre.

Exercice 4 · Intermédiaire

On observe les temps (en minutes) 18, 20, 21, 21, 25, 35. Calculer moyenne, médiane et écart-type empirique corrigé. Commenter le choix d’un indicateur central.

Correction détaillée

La somme vaut 140 et n=6, donc la moyenne est 23,33 min. Les données étant déjà ordonnées, la médiane est (21+21)/2=21 min. Les écarts à la moyenne ont une somme de carrés environ 218,33; la variance corrigée vaut 218,33/5=43,67 et l’écart-type s\approx6,61 min. La moyenne est tirée vers le haut par 35; la médiane décrit mieux le temps typique ici. Il faut toutefois signaler la petite taille et ne pas généraliser sans connaître le plan d’échantillonnage.

Exercice 5 · Avancé

Une machine produit des pièces dont le diamètre X est modélisé par une loi normale de moyenne mu et d’écart-type inconnu. Sur n=16 pièces, on observe x_barre=10,4 mm et s=0,8 mm. Tester au seuil de 5 % H0: mu=10 contre H1: mu different de 10, puis fournir un intervalle de confiance à 95 %.

Correction détaillée

Comme sigma est inconnue et le modèle normal est posé, on utilise Student à 15 degrés de liberté. La statistique est t=(10,4-10)/(0,8/4)=2. Le quantile bilatéral à 95 % vaut environ 2,131. Comme |2|<2,131, on ne rejette pas H0 au seuil de 5 %; la p-valeur est légèrement supérieure à 0,05. L’intervalle est 10,4 +/- 2,131\times0,2, soit [9,9738;10,8262] mm, arrondi [9,97;10,83] mm. La décision ne prouve pas que mu=10: elle indique seulement que l’échantillon ne fournit pas assez d’évidence contre cette valeur au seuil choisi.

Quiz d’autoévaluation

Question 1

Quelle identité est toujours vraie pour un événement A ?

• P(A^c)=P(A) ✓ P(A^c)=1-P(A) • P(A^c)=P(A)+1 • P(A^c)=0

Explication : A et son complémentaire partitionnent l’univers, donc leurs probabilités somment à 1.

Question 2

Que signifie P(A|B) ?

• La probabilité de B sachant A • La probabilité de A et B indépendamment ✓ La probabilité de A sachant que B est réalisé • La probabilité de A ou B

Explication : Le symbole vertical indique que B est l’information conditionnante; il faut P(B)>0.

Question 3

Si X suit une loi binomiale B(n,p), quelle est son espérance ?

• n+p ✓ np • p/n • n(1-p)

Explication : X compte n essais de succès de probabilité p, donc E(X)=np.

Question 4

Quelle grandeur a les mêmes unités que X ?

• Var(X) • E(X)^2 ✓ L’écart-type de X • La covariance de X avec lui-même

Explication : La variance est en unités au carré; sa racine, l’écart-type, revient aux unités de X.

Question 5

Pour une variable continue ayant une densité, que vaut en général P(X=a) ?

✓ 0 • 1 • La densité f(a) • Toujours 0,5

Explication : Une probabilité ponctuelle est une intégrale sur un intervalle de longueur nulle; la densité est une hauteur, pas une probabilité.

Question 6

Quand la marge d’un intervalle de moyenne avec sigma connu est-elle divisée par deux ?

• Quand n est doublé ✓ Quand n est multiplié par quatre • Quand sigma est doublé • Quand le seuil passe de 5 % à 10 %

Explication : La marge est proportionnelle à 1/sqrt(n); multiplier n par quatre divise donc la marge par deux.

Question 7

Une p-valeur de 0,03 au seuil de 5 % conduit à quelle décision ?

✓ Rejeter H0 • Prouver H0 vraie • Augmenter automatiquement n • Dire que l’effet est nécessairement important

Explication : Comme 0,03<0,05, la règle usuelle rejette H0. Cela ne mesure ni la taille ni l’importance pratique de l’effet.

Question 8

Quel énoncé est le plus prudent pour une corrélation observée ?

• Elle prouve une causalité • Elle est impossible si les variables sont quantitatives ✓ Elle décrit une association et peut dépendre de facteurs tiers • Elle signifie que les variables sont identiques

Explication : Une association statistique peut être due à une cause commune, à un biais ou au hasard; l’expérience et le modèle sont nécessaires pour discuter la causalité.

Glossaire

• Événement — Sous-ensemble de l’univers des issues auquel on associe une probabilité.
• Probabilité conditionnelle — Mesure de A lorsque B est connu, définie par P(A|B)=P(A inter B)/P(B) si P(B)>0.
• Indépendance — Deux événements A et B sont indépendants si P(A inter B)=P(A)P(B); ce n’est pas l’incompatibilité.
• Variable aléatoire — Application qui associe une valeur numérique à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Espérance — Moyenne théorique d’une variable aléatoire, lorsque la somme ou l’intégrale correspondante converge.
• Estimateur — Fonction des observations utilisée pour approcher un paramètre inconnu de la population.
• Intervalle de confiance — Procédure aléatoire produisant un intervalle qui couvre le paramètre avec une fréquence de couverture annoncée.
• p-valeur — Probabilité, sous l’hypothèse nulle, d’obtenir une statistique au moins aussi extrême que celle observée.

TP · Mini-cas : fiabilité d’un service de livraison

Une équipe dispose de 80 délais de livraison (en minutes) et d’un indicateur binaire de retard supérieur à 30 minutes. Elle veut décrire les délais, estimer le retard moyen et vérifier si la proportion de retards est compatible avec un objectif de 20 %, sans prétendre établir une causalité.

Objectifs

• Nettoyer et documenter une table de variables quantitatives et binaires.

• Calculer des statistiques descriptives avec unités et visualisations adaptées.

• Construire un intervalle de confiance pour une moyenne et une proportion.

• Formuler une conclusion prudente en séparant description, incertitude et limites.

Étapes

1. Vérifier les types, doublons, valeurs manquantes, unités et dates; consigner toute exclusion.

2. Produire moyenne, médiane, quartiles, écart-type corrigé et histogramme des délais.

3. Calculer la proportion de retards et un intervalle de confiance, en explicitant l’approximation retenue.

4. Tester ou discuter l’écart à 20 % avec une hypothèse nulle et un seuil annoncé.

5. Rédiger une page de synthèse avec méthode, résultats arrondis, limites et deux contrôles reproductibles.

Livrables attendus

• Table nettoyée accompagnée d’un dictionnaire des variables.

• Deux graphiques légendés et un tableau d’indicateurs avec unités.

• Note d’une page contenant intervalles, décision éventuelle et limites méthodologiques.

Critères d’évaluation

• Données et transformations traçables, sans suppression silencieuse.

• Calculs justes, formules et unités vérifiables.

• Graphiques lisibles et conclusions cohérentes avec les intervalles.

• Limites explicites : biais de sélection, dépendance temporelle, causalité non démontrée.

Piste de résolution

Après contrôle, décrire la distribution par médiane et quartiles en complément de la moyenne. Pour une moyenne, utiliser un intervalle t si l’écart-type est estimé et documenter l’indépendance approximative; pour une proportion, annoncer l’intervalle choisi et vérifier que l’approximation normale est acceptable ou préférer une méthode exacte. Comparer l’objectif de 20 % par une procédure bilatérale cohérente, sans transformer la p-valeur en probabilité de vérité. Conclure seulement sur cet échantillon et son protocole, avec un graphique des délais et une analyse des valeurs atypiques.

Sujets originaux d’entraînement (non officiels)

Sujet original de préparation — session normale

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale non officielle; il ne s’agit jamais d’une épreuve d’une année passée ni d’une annale. Les valeurs numériques sont choisies pour l’entraînement.

Exercice 1

Une maladie touche 2 % d’une population. Un test est positif avec probabilité 0,95 si la personne est malade et avec probabilité 0,04 si elle ne l’est pas. Calculer la probabilité d’être malade sachant que le test est positif.

Correction : Par Bayes, P(M|+)=0,95x0,02/[0,95x0,02+0,04x0,98]. Le numérateur vaut 0,019 et le dénominateur 0,0582. Donc P(M|+)≈0,3265, soit 32,65 %. La rareté initiale explique que les faux positifs restent nombreux.

Exercice 2

Pour X suivant une loi normale de moyenne 50 et d’écart-type 8, calculer approximativement P(42≤X≤58) en utilisant la standardisation et la valeur Phi(1)=0,8413.

Correction : On pose Z=(X-50)/8. Les bornes deviennent -1 et 1. Ainsi P(42≤X≤58)=P(-1≤Z≤1)=Phi(1)-Phi(-1)=2Phi(1)-1≈2x0,8413-1=0,6826, soit 68,26 %.

Exercice 3

Un échantillon de 36 mesures a moyenne 74 et écart-type 6. Donner un intervalle de confiance approximatif à 95 % de la moyenne, puis interpréter sa couverture.

Correction : L’erreur-type estimée est 6/sqrt(36)=1. En approximation normale, la marge vaut 1,96. L’intervalle est [72,04;75,96]. Dans des répétitions du même protocole, environ 95 % des intervalles ainsi construits couvriraient la moyenne; on ne dit pas que la moyenne a 95 % de probabilité d’être dans cet intervalle fixé.

Sujet original de préparation — session de rattrapage

Sujet original d’entraînement non officiel; il ne provient pas d’une session d’examen antérieure. Ce sujet est une création pédagogique originale non officielle; il ne s’agit jamais d’une épreuve d’une année passée ni d’une annale. Il propose d’autres données et raisonnements pour réviser.

Exercice 1

Deux cartes sont tirées sans remise d’un jeu de 10 cartes dont 4 sont rouges. Calculer la probabilité d’obtenir au moins une carte rouge par complémentaire.

Correction : L’événement contraire est « aucune rouge ». Il y a 6 cartes non rouges, donc P(aucune rouge)=(6/10)(5/9)=1/3. Ainsi P(au moins une rouge)=1-1/3=2/3.

Exercice 2

Une variable X vaut 0, 1 ou 3 avec probabilités 0,2, 0,5 et 0,3. Calculer son espérance et sa variance.

Correction : E(X)=0x0,2+1x0,5+3x0,3=1,4. E(X²)=0+1x0,5+9x0,3=3,2. Donc Var(X)=3,2-1,4²=3,2-1,96=1,24; l’écart-type vaut environ 1,114.

Exercice 3

Dans 100 observations, 62 répondent oui. Construire une approximation d’intervalle à 95 % pour la proportion et préciser une condition de validité.

Correction : La proportion observée est p_chapeau=0,62. L’erreur-type vaut sqrt[0,62x0,38/100]≈0,0485. La marge normale vaut 1,96x0,0485≈0,095. L’intervalle approximatif est [0,525;0,715]. Les effectifs 100x0,62=62 et 100x0,38=38 sont assez grands pour l’approximation normale; l’indépendance ou un plan d’échantillonnage comparable doit aussi être défendu.

Parcours de révision sur quatre semaines

Semaine 1 · Événements, conditionnement et Bayes

Refaire les arbres de probabilité des exercices 1 et sujet normale 1, puis vérifier indépendance et incompatibilité sur cinq exemples. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 2 · Lois usuelles et variables aléatoires

Calculer espérance et variance de lois discrètes, standardiser une normale et construire une fiche binomiale-Poisson-normale. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 3 · Données, échantillonnage et estimation

Sur un petit tableau, produire moyenne, médiane, quartiles, variance corrigée et intervalle de confiance en annotant unités et hypothèses. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.

Semaine 4 · Tests, régression et synthèse

Résoudre un sujet complet en temps limité, rédiger une interprétation de p-valeur et relire chaque conclusion à la lumière des limites. Avant de terminer, reformule les notions sans tes notes, vérifie les résultats dans le cours et note une difficulté précise à reprendre la semaine suivante.